Determine o posto de cada uma das matrizes abaixo e diga quals delas são equivalentes à matriz identidade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente determinar o posto da matriz e dizer quais matrizes são equivalentes à matriz identidade. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como row-echelon form (forma escalonada) e operações elementares de linha. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o posto de uma matriz. O posto é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes na matriz. Para encontrar o posto, vamos transformar a matriz em uma forma escalonada usando operações elementares de linha.
Passo 3
Aqui está a matriz :
Vamos começar aplicando operações para zerar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.
Passo 4
Primeiro, mantemos a primeira linha igual. Em seguida, adicionamos 2 vezes a primeira linha à segunda linha para zerar o elemento (-2) na segunda linha, primeira coluna:
Passo 5
Agora, subtraímos a primeira linha da terceira linha para zerar o elemento 1 na terceira linha, primeira coluna:
Passo 6
Vamos agora zerar o elemento 2 na terceira linha, segunda coluna. Para isso, subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
Passo 7
A matriz está agora na forma escalonada:
Cada linha não nula representa uma linha linearmente independente, então o posto da matriz é 3.
Passo 8
Para verificar se a matriz é equivalente à matriz identidade, precisamos ver se ela é invertível, ou seja, se o posto é igual ao número de linhas (ou colunas). Como o posto de é 3 e ela é uma matriz , ela é invertível e, portanto, equivalente à matriz identidade.
Resposta
O posto da matriz é 3, e ela é equivalente à matriz identidade.