Determine o posto de cada uma das matrizes abaixo e diga quals delas são equivalentes à matriz identidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente determinar o posto da matriz e dizer quais matrizes são equivalentes à matriz identidade. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como row-echelon form (forma escalonada) e operações elementares de linha. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o posto de uma matriz. O posto é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes na matriz. Para encontrar o posto, vamos transformar a matriz em uma forma escalonada usando operações elementares de linha.

Passo 3

Aqui está a matriz :
Vamos começar aplicando operações para zerar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.

Passo 4

Primeiro, mantemos a primeira linha igual. Em seguida, adicionamos 2 vezes a primeira linha à segunda linha para zerar o elemento (-2) na segunda linha, primeira coluna:

Passo 5

Agora, subtraímos a primeira linha da terceira linha para zerar o elemento 1 na terceira linha, primeira coluna:

Passo 6

Vamos agora zerar o elemento 2 na terceira linha, segunda coluna. Para isso, subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha:

Passo 7

A matriz está agora na forma escalonada:
Cada linha não nula representa uma linha linearmente independente, então o posto da matriz é 3.

Passo 8

Para verificar se a matriz é equivalente à matriz identidade, precisamos ver se ela é invertível, ou seja, se o posto é igual ao número de linhas (ou colunas). Como o posto de é 3 e ela é uma matriz , ela é invertível e, portanto, equivalente à matriz identidade.

Resposta

O posto da matriz é 3, e ela é equivalente à matriz identidade.

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Determine o posto de cada uma das matrizes abaixo e diga quals delas são equivalentes à matriz identidade.
a) verificar que é uma base.
b) sendo , ache a expressão de na base .
Resposta: (b)
Determine o posto de cada uma das matrizes abaixo e diga quals delas são equivalentes à matriz identidade.