Determine o posto de cada uma das matrizes abaixo e diga quals delas são equivalentes à matriz identidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para descobrir o posto da matriz e ver se ela é equivalente à matriz identidade. O posto de uma matriz é basicamente o número de linhas ou colunas independentes que ela tem. Para isso, vamos usar operações elementares de linha para simplificar a matriz. Se conseguirmos transformá-la na matriz identidade usando essas operações, então ela é equivalente à identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz :
Passo 3
O objetivo é transformar em uma matriz mais simples usando operações elementares de linha, que são:
Trocar duas linhas.
Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
Somar a múltiplo de uma linha a outra linha.
Passo 4
Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Para isso:
Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Adicionar 6 vezes a primeira linha à terceira linha:
Aplicando essas operações:
Passo 5
Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos um 1 nessa posição, então vamos multiplicar a segunda linha por -1:
Isso fica assim:
Passo 6
Vamos eliminar o -1 na terceira linha, segunda coluna. Para isso, somamos a segunda linha à terceira linha:
Resultado:
Passo 7
Agora, queremos um 1 na terceira coluna da terceira linha. Então, dividimos a terceira linha por 3:
Ficamos com:
Passo 8
Por fim, vamos eliminar os 3 e 2 acima do 1 na terceira coluna para transformar nossa matriz na identidade. Fazemos:
Aplicando:
Resposta
A matriz tem posto 3 e é equivalente à matriz identidade.