Determine o posto de cada uma das matrizes abaixo e diga quals delas são equivalentes à matriz identidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para descobrir o posto da matriz e ver se ela é equivalente à matriz identidade. O posto de uma matriz é basicamente o número de linhas ou colunas independentes que ela tem. Para isso, vamos usar operações elementares de linha para simplificar a matriz. Se conseguirmos transformá-la na matriz identidade usando essas operações, então ela é equivalente à identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz :

Passo 3

O objetivo é transformar em uma matriz mais simples usando operações elementares de linha, que são:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
  3. Somar a múltiplo de uma linha a outra linha.

Passo 4

Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Para isso:
  • Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
  • Adicionar 6 vezes a primeira linha à terceira linha:
Aplicando essas operações:

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos um 1 nessa posição, então vamos multiplicar a segunda linha por -1:
Isso fica assim:

Passo 6

Vamos eliminar o -1 na terceira linha, segunda coluna. Para isso, somamos a segunda linha à terceira linha:
Resultado:

Passo 7

Agora, queremos um 1 na terceira coluna da terceira linha. Então, dividimos a terceira linha por 3:
Ficamos com:

Passo 8

Por fim, vamos eliminar os 3 e 2 acima do 1 na terceira coluna para transformar nossa matriz na identidade. Fazemos:
Aplicando:

Resposta

A matriz tem posto 3 e é equivalente à matriz identidade.

Exercícios relacionados

a) verificar que é uma base.
b) sendo , ache a expressão de na base .
Resposta: (b)
Determine o posto de cada uma das matrizes abaixo e diga quals delas são equivalentes à matriz identidade.
Encontre o cosseno do ângulo entre as retas:
e
Determine o posto de cada uma das matrizes abaixo e diga quals delas são equivalentes à matriz identidade.