a) verificar que é uma base.
b) sendo , ache a expressão de na base .
Resposta: (b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um conjunto de vetores , e definidos em termos da base padrão , e . A gente precisa fazer duas coisas:
a) Verificar se esses vetores formam uma base.
b) Encontrar a expressão do vetor nessa nova base formada pelos vetores , e .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como mudança de base e sistemas lineares.

Passo 2

Vamos focar na parte b). Queremos expressar na base . Isso significa encontrar escalares , e tais que:
Substituindo as expressões dos , temos:

Passo 3

Vamos expandir o lado direito da equação:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 4

Igualando os coeficientes dos vetores , e dos dois lados da equação, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e . Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos usar a eliminação.
Primeiro, da equação 1:
Vamos substituir nas equações 2 e 3:
Equação 2:
Equação 3:
Agora temos um sistema com duas equações:

Passo 6

Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar :
Agora, substituímos na equação :

Passo 7

Com os valores de e , podemos encontrar usando :

Resposta

(b)

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;
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e