a) verificar que
é uma base.
b) sendo
, ache a expressão de
na base
.
Resposta: (b)
b) sendo
Resposta: (b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um conjunto de vetores
,
e
definidos em termos da base padrão
,
e
. A gente precisa fazer duas coisas:
a) Verificar se esses vetores formam uma base.
b) Encontrar a expressão do vetor
nessa nova base formada pelos vetores
,
e
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como mudança de base e sistemas lineares.
Passo 2
Vamos focar na parte b). Queremos expressar
na base
. Isso significa encontrar escalares
,
e
tais que:
Substituindo as expressões dos
, temos:
Passo 3
Vamos expandir o lado direito da equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
Igualando os coeficientes dos vetores
,
e
dos dois lados da equação, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
,
e
. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos usar a eliminação.
Primeiro, da equação 1:
Vamos substituir
nas equações 2 e 3:
Equação 2:
Equação 3:
Agora temos um sistema com duas equações:
Passo 6
Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar
:
Agora, substituímos
na equação
:
Passo 7
Com os valores de
e
, podemos encontrar
usando
:
Resposta
(b)
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. Para todo subespaço
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;
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e