f1=e1-e2-e3, f2=e1+2 e2+e3, f3=2 e1+e2+4 e3
a) verificar que (f1, f2, f3) é uma base.
b) sendo u=3 e1-5 e2+4 e3, ache a expressão de u na base (f1, f2, f3).
Resposta: (b) u=(1912,-114, 2512)F

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um conjunto de vetores f1, f2 e f3 definidos em termos da base padrão e1, e2 e e3. A gente precisa fazer duas coisas:
a) Verificar se esses vetores formam uma base.
b) Encontrar a expressão do vetor u = 3 e1 - 5 e2 + 4 e3 nessa nova base formada pelos vetores f1, f2 e f3.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como mudança de base e sistemas lineares.

Passo 2

Vamos focar na parte b). Queremos expressar u na base (f1, f2, f3). Isso significa encontrar escalares a, b e c tais que:
u = a f1 + b f2 + c f3
Substituindo as expressões dos f, temos:
3 e1 - 5 e2 + 4 e3 = a (e1 - e2 - e3) + b (e1 + 2 e2 + e3) + c (2 e1 + e2 + 4 e3)

Passo 3

Vamos expandir o lado direito da equação:
a e1 - a e2 - a e3 + b e1 + 2b e2 + b e3 + 2c e1 + c e2 + 4c e3
Agrupando os termos semelhantes:
(a + b + 2c) e1 + (-a + 2b + c) e2 + (-a + b + 4c) e3

Passo 4

Igualando os coeficientes dos vetores e1, e2 e e3 dos dois lados da equação, temos o seguinte sistema de equações:
  1. a + b + 2c = 3
  2. -a + 2b + c = -5
  3. -a + b + 4c = 4

Passo 5

Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a, b e c. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos usar a eliminação.
Primeiro, da equação 1:
a = 3 - b - 2c
Vamos substituir a nas equações 2 e 3:
Equação 2:
-(3 - b - 2c) + 2b + c = -5 -3 + b + 2c + 2b + c = -5 3b + 3c = -2 b + c = -23 (Dividindo por 3)
Equação 3:
-(3 - b - 2c) + b + 4c = 4 -3 + b + 2c + b + 4c = 4 2b + 6c = 7 b + 3c = 72 (Dividindo por 2)
Agora temos um sistema com duas equações:
  1. b + c = -23
  2. b + 3c = 72

Passo 6

Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar b:
(b + 3c) - (b + c) = 72 - (-23) 2c = 72 + 23 = 216 + 46 = 256 c = 2512
Agora, substituímos c na equação b + c = -23:
b + 2512 = -23 b = -23 - 2512 = -812 - 2512 = -3312 = -114

Passo 7

Com os valores de b e c, podemos encontrar a usando a = 3 - b - 2c:
a = 3 - (-114) - 2 (2512) a = 3 + 114 - 5012 a = 124 + 114 - 5012 a = 234 - 5012 a = 6912 - 5012 = 1912

Resposta

(b) u=(1912,-114, 2512)F

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