Encontre o cosseno do ângulo entre as retas:
r:cx+3 z=7 y=0 e s:cx-2 z=5 y=0

Passo 1

Então, a gente precisa encontrar o cosseno do ângulo entre duas retas no espaço. As retas dadas são:
r: x + 3z = 7 y = 0
s: x - 2z = 5 y = 0
Vamos usar o conteúdo de vetores e ângulos entre vetores para resolver isso. Precisamos encontrar os vetores diretores de cada reta e depois aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores diretores das retas y = 0 e x + 3z = 7 . Para isso, vamos parametrizar cada reta.
Para a reta x = 7 - 3t :
y = 0
z = t
Vamos escolher vr = (-3, 0, 1) (um parâmetro qualquer).
Então:
y = 0
x - 2z = 5
x = 5 + 2t
O vetor diretor de y = 0 é:
z = t
Para a reta vs = (2, 0, 1) :
Vamos escolher também.
Então:
O vetor diretor de é:

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo cos(theta) = vr cdot vs|vr| , |vs| entre eles:
Onde é o produto escalar e é a magnitude do vetor.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar:
vr cdot vs = (-3) times 2 + 0 times 0 + 1 times 1 = -6 + 0 + 1 = -5

Passo 5

Agora, as magnitudes dos vetores:
|vr| = raiz(-3)^2 + 0^2 + 1^2 = raiz9 + 0 + 1 = raiz10
|vs| = raiz2^2 + 0^2 + 1^2 = raiz4 + 0 + 1 = raiz5

Passo 6

Substituindo na fórmula:
cos(theta) = -5raiz10 times raiz5 = -5raiz50 = -55raiz2 = -1raiz2
Como o cosseno pode ser negativo dependendo do ângulo, mas estamos interessados no valor absoluto:
cos(theta) = 1raiz2

Resposta

O cosseno do ângulo entre as retas é:
cos(theta) = 1raiz2

Exercícios relacionados