Determine o posto de cada uma das matrizes abaixo e diga quals delas são equivalentes à matriz identidade.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinar o posto da matriz e identificar quais matrizes são equivalentes à matriz identidade. Estamos lidando com álgebra linear, especificamente com matrizes e operações de linhas para encontrar o posto. Vamos precisar usar operações elementares de linha para simplificar a matriz e descobrir quantas linhas independentes ela tem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o posto de uma matriz. O posto é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes na matriz. Para encontrar isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss para reduzir a matriz a uma forma mais simples, facilitando a contagem das linhas independentes.

Passo 3

Vamos começar com a matriz :
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior (onde abaixo da diagonal principal são todos zeros) usando operações de linha.

Passo 4

Operação 1: Vamos tornar o elemento abaixo do primeiro pivô (primeiro elemento da primeira linha) igual a zero. O pivô atual é 2.
  • Para a segunda linha:
  • Para a terceira linha:
  • Para a quarta linha:
Aplicando essas operações:

Passo 5

Operação 2: Agora, vamos focar no segundo pivô, que está na segunda linha e segunda coluna ( ). Queremos zeros abaixo dele.
  • Para a terceira linha:
  • Para a quarta linha:
Aplicando essas operações:

Passo 6

Operação 3: Agora, vamos para o terceiro pivô na terceira linha e terceira coluna (-3). Queremos zerar abaixo dele.
  • Para a quarta linha:
Aplicando essa operação:

Passo 7

Agora, a matriz está na forma triangular superior. Podemos contar o número de pivôs (elementos diferentes de zero na diagonal principal):
  1. Primeiro pivô: 2
  2. Segundo pivô:
  3. Terceiro pivô: -3
  4. Quarto pivô:
Todos os pivôs são diferentes de zero, então o posto da matriz é 4.

Passo 8

Para verificar se a matriz é equivalente à matriz identidade, precisamos acertar se a matriz é invertível. Como o posto é igual ao número de linhas (ou colunas), que aqui é 4, isso significa que é invertível e, portanto, equivalente à matriz identidade.

Resposta

O posto da matriz é 4. A matriz é equivalente à matriz identidade.

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