Determine o posto de cada uma das matrizes abaixo e diga quals delas são equivalentes à matriz identidade.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinar o posto da matriz e identificar quais matrizes são equivalentes à matriz identidade. Estamos lidando com álgebra linear, especificamente com matrizes e operações de linhas para encontrar o posto. Vamos precisar usar operações elementares de linha para simplificar a matriz e descobrir quantas linhas independentes ela tem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o posto de uma matriz. O posto é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes na matriz. Para encontrar isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss para reduzir a matriz a uma forma mais simples, facilitando a contagem das linhas independentes.
Passo 3
Vamos começar com a matriz :
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior (onde abaixo da diagonal principal são todos zeros) usando operações de linha.
Passo 4
Operação 1: Vamos tornar o elemento abaixo do primeiro pivô (primeiro elemento da primeira linha) igual a zero. O pivô atual é 2.
Para a segunda linha:
Para a terceira linha:
Para a quarta linha:
Aplicando essas operações:
Passo 5
Operação 2: Agora, vamos focar no segundo pivô, que está na segunda linha e segunda coluna (). Queremos zeros abaixo dele.
Para a terceira linha:
Para a quarta linha:
Aplicando essas operações:
Passo 6
Operação 3: Agora, vamos para o terceiro pivô na terceira linha e terceira coluna (-3). Queremos zerar abaixo dele.
Para a quarta linha:
Aplicando essa operação:
Passo 7
Agora, a matriz está na forma triangular superior. Podemos contar o número de pivôs (elementos diferentes de zero na diagonal principal):
Primeiro pivô: 2
Segundo pivô:
Terceiro pivô: -3
Quarto pivô:
Todos os pivôs são diferentes de zero, então o posto da matriz é 4.
Passo 8
Para verificar se a matriz é equivalente à matriz identidade, precisamos acertar se a matriz é invertível. Como o posto é igual ao número de linhas (ou colunas), que aqui é 4, isso significa que é invertível e, portanto, equivalente à matriz identidade.
Resposta
O posto da matriz é 4. A matriz é equivalente à matriz identidade.