Resolva os seguintes sistemas, utilizando inversão de matrizes:
cx+y+z=5 2 x+3 y+2 z=5 4 x+7 y+5 z=12.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando inversão de matrizes! O sistema que temos é:
x + y + z = 5 2x + 3y + 2z = 5 4x + 7y + 5z = 12
Aqui, estamos lidando com sistemas lineares e vamos usar matrizes para resolver. Precisamos montar a matriz dos coeficientes, a matriz das incógnitas e a matriz dos resultados para aplicar a formula da inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes A = 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 4 & 7 & 5 , b = 5 5 12 e a matriz dos resultados . As equações estão na forma , onde:

Passo 3

Para resolver x = A^-1 b usando a inversa, precisamos encontrar a matriz inversa de , que é . A fórmula para encontrar é:
Mas antes de prosseguirmos, vamos verificar se é invertível calculando seu determinante.

Passo 4

O determinante de uma matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) é calculado assim:
A = a & b & c d & e & f g & h & i = 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 4 & 7 & 5
Onde,
det(A) = 1(3 cdot 5 - 2 cdot 7) - 1(2 cdot 5 - 2 cdot 4) + 1(2 cdot 7 - 3 cdot 4)
Calculando:
det(A) = 1(15 - 14) - 1(10 - 8) + 1(14 - 12)
det(A) = 1(1) - 1(2) + 1(2) = 1 - 2 + 2 = 1
Como o determinante é diferente de zero ( ), a matriz é inversível.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) e, em seguida, a matriz inversa C11 = 3 & 2 7 & 5 = (3)(5) - (2)(7) = 15 - 14 = 1 .
A inversa de C12 = - 2 & 2 4 & 5 = -(2 cdot 5 - 2 cdot 4) = -(10 - 8) = -2 é dada por:
C13 = 2 & 3 4 & 7 = (2)(7) - (3)(4) = 14 - 12 = 2
Como C21 = - 1 & 1 7 & 5 = -(1 cdot 5 - 1 cdot 7) = -(5 - 7) = 2 , temos C22 = 1 & 1 4 & 5 = (1)(5) - (1)(4) = 5 - 4 = 1 .
Calculando a adjunta, que é a matriz dos cofatores transposta:
Primeiro, encontramos os cofatores:
C23 = - 1 & 1 4 & 7 = -(1 cdot 7 - 1 cdot 4) = -(7 - 4) = -3
C31 = 1 & 1 3 & 2 = (1)(2) - (1)(3) = 2 - 3 = -1
C32 = - 1 & 1 2 & 2 = -(1 cdot 2 - 1 cdot 2) = -(2 - 2) = 0
C33 = 1 & 1 2 & 3 = (1)(3) - (1)(2) = 3 - 2 = 1
C = 1 & -2 & 2 2 & 1 & -3 -1 & 0 & 1
adj(A) = C^T = 1 & 2 & -1 -2 & 1 & 0 2 & -3 & 1
A^-1 = adj(A) = 1 & 2 & -1 -2 & 1 & 0 2 & -3 & 1
Então, a matriz de cofatores é:
A adjunta é a transposta de :
Portanto,

Passo 6

Agora que temos x y z = A^-1 b = 1 & 2 & -1 -2 & 1 & 0 2 & -3 & 1 5 5 12 , vamos multiplicá-la pela matriz x = 1 cdot 5 + 2 cdot 5 + (-1) cdot 12 = 5 + 10 - 12 = 3 para encontrar as incógnitas y = -2 cdot 5 + 1 cdot 5 + 0 cdot 12 = -10 + 5 + 0 = -5 , z = 2 cdot 5 + (-3) cdot 5 + 1 cdot 12 = 10 - 15 + 12 = 7 e :
Vamos fazer a multiplicação:

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 3, y = -5, z = 7

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