Obtenha a medida angular em radianos entre a reta r e o plano pi :
r:lllx & = & 1+lambda y & = & lambda z & = & -2 lambda pi: x+y-z-1=0

Passo 1

Beleza, a gente precisa encontrar o ângulo entre uma reta e um plano. Para isso, vamos usar um pouco de geometria vetorial. Primeiro, vamos identificar os vetores que representam a direção da reta e a normal do plano. Depois, com esses vetores em mãos, usamos o produto escalar para achar o ângulo entre eles.

Passo 2

Vamos começar encontrando o vetor diretor da reta x = 1 + lambda, y = lambda, z = -2lambda . A reta está descrita pelas equações paramétricas:
v = 1 1 -2
O vetor diretor é dado pelos coeficientes de nas equações, ou seja:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor normal x + y - z - 1 = 0 do plano n = 1 1 -1 . A equação do plano é:
Os coeficientes de , e na equação do plano nos dão o vetor normal:

Passo 4

Para encontrar o ângulo entre a reta e o plano, primeiro vamos achar o ângulo v cdot n = |v| cdot |n| cdot cos(theta) entre o vetor diretor da reta v cdot n = (1)(1) + (1)(1) + (-2)(-1) = 1 + 1 + 2 = 4 e o vetor normal do plano |v| = raiz1^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6 . Usamos a fórmula do produto escalar:
|n| = raiz1^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3
Onde:
4 = raiz6 cdot raiz3 cdot cos(theta)
cos(theta) = 4raiz18 = 43raiz2 = 4raiz26 = 2raiz23
theta = arccos(2raiz23)
Então:

Passo 5

O ângulo entre a reta e o plano phi = pi2 - theta é complementar ao ângulo phi = pi2 - arccos(2raiz23) que encontramos. Ou seja:
Substituindo :

Resposta

A medida angular entre a reta phi = pi2 - arccos(2raiz23) e o plano phi approx 0,615 radianos é:
Ou, simplificando:

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