Determine o posto de cada uma das matrizes abaixo e diga quals delas são equivalentes à matriz identidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o posto da matriz e descobrir quais delas são equivalentes à matriz identidade. O posto de uma matriz é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes. Para isso, vamos usar a eliminação de Gauss para trazer a matriz a uma forma escalonada e contar quantos pivôs (números diferentes de zero) teremos. Precisaremos saber sobre operações elementares em matrizes e conceito de matrizes equivalentes à identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz :
Passo 3
Vamos começar a eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (1 na posição (1,1)). Para isso:
Linha 2:
Linha 3:
Linha 4:
Aplicando essas operações:
Passo 4
Agora, vamos trabalhar com o segundo pivô, que está na posição (2,2) com valor -1. Vamos eliminar os elementos abaixo e acima desse pivô:
Linha 3:
Linha 4:
Aplicando:
Passo 5
Agora, vamos ao terceiro pivô na posição (3,3) com valor -3. Vamos eliminar o elemento abaixo dele:
Linha 4:
Aplicando:
Passo 6
Agora, a matriz está na forma escalonada. Vamos contar os pivôs:
Primeiro pivô: 1 na posição (1,1)
Segundo pivô: -1 na posição (2,2)
Terceiro pivô: -3 na posição (3,3)
Quarto pivô: -22 na posição (4,4)
Como temos 4 pivôs, o posto da matriz é 4.
Passo 7
Para verificar se a matriz é equivalente à matriz identidade, precisamos que ela possa ser reduzida exatamente para a identidade através de operações elementares. Como o posto de é igual ao número de linhas (e colunas), isso indica que é uma matriz não singular e, portanto, equivalente à matriz identidade.
Resposta
O posto da matriz é 4, e ela é equivalente à matriz identidade.