Obtenha a medida angular em radianos entre a reta e o plano :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a medida angular, em radianos, entre uma reta e um plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre ângulos entre retas e planos. Vamos precisar identificar os vetores diretores da reta e o vetor normal do plano para calcular esse ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta . A reta está parametrizada por:
O vetor diretor é o que multiplica o parâmetro , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos identificar o vetor normal do plano . A equação do plano é dada por:
Os coeficientes de e nessa equação nos dão o vetor normal do plano. Então, o vetor normal é .

Passo 4

Para encontrar o ângulo entre a reta e o plano, precisamos primeiro encontrar o ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano . Vamos chamar esse ângulo de . A relação entre esse ângulo e o ângulo que queremos é:
ou, em radianos,

Passo 5

Vamos calcular o ângulo usando o produto escalar entre e :
Além disso, precisamos calcular as normas (comprimentos) dos vetores e :

Passo 6

Com o produto escalar e as normas, podemos usar a fórmula do cosseno para encontrar :
Agora, calculamos :

Passo 7

Finalmente, lembrando que , substituímos :
Calculando isso, obtemos a medida angular em radianos entre a reta e o plano .

Resposta

A medida angular entre a reta e o plano é:

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Resolva o sistema linear
Sejam e um subespaço do .
(b) Encontre um vetor tal que .