Obtenha a medida angular em radianos entre a reta e o plano :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a medida angular, em radianos, entre uma reta e um plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre ângulos entre retas e planos. Vamos precisar identificar os vetores diretores da reta e o vetor normal do plano para calcular esse ângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta . A reta está parametrizada por:
O vetor diretor é o que multiplica o parâmetro , ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos identificar o vetor normal do plano . A equação do plano é dada por:
Os coeficientes de e nessa equação nos dão o vetor normal do plano. Então, o vetor normal é .
Passo 4
Para encontrar o ângulo entre a reta e o plano, precisamos primeiro encontrar o ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano . Vamos chamar esse ângulo de . A relação entre esse ângulo e o ângulo que queremos é:
ou, em radianos,
Passo 5
Vamos calcular o ângulo usando o produto escalar entre e :
Além disso, precisamos calcular as normas (comprimentos) dos vetores e :
Passo 6
Com o produto escalar e as normas, podemos usar a fórmula do cosseno para encontrar :
Agora, calculamos :
Passo 7
Finalmente, lembrando que , substituímos :
Calculando isso, obtemos a medida angular em radianos entre a reta e o plano .