Determine o potencial elétrico em pontos fora do cilindro (
): Seja um cilindro condutor maciço muito longo de raio
em equilfbrio eletrostático. Uma quantidade de carga elétrica está distribuida uniformemente ao longo de todo o seu comprimento com uma densidade linear de carga positiva
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para determinar o potencial elétrico em pontos fora de um cilindro condutor muito longo (com raio
) que está em equilíbrio eletrostático. A carga elétrica está distribuída de forma uniforme ao longo do comprimento do cilindro, com uma densidade linear de carga positiva
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o campo elétrico
fora do cilindro, ou seja, para distâncias
do eixo central. Como o cilindro é muito longo e a carga está distribuída uniformemente, podemos utilizar a Lei de Gauss, que ajuda a encontrar campos elétricos com alta simetria.
Imaginemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio
e comprimento
que envolve o cilindro condutor. Pela simetria do problema, o campo elétrico
será radial e perpendicular à superfície gaussiana, e terá o mesmo valor em todos os pontos dessa superfície.
A Lei de Gauss nos diz que:
Onde
é a carga total dentro da superfície gaussiana. Como a densidade linear de carga é
, a carga total dentro do cilindro gaussiano é
.
Calculando a integral do lado esquerdo:
Simplificando, encontramos o campo elétrico fora do cilindro:
Passo 3
Agora que temos o campo elétrico
, podemos encontrar o potencial elétrico
relacionando-o ao campo. A relação entre campo e potencial é dada por:
Para encontrar
, integramos o campo elétrico:
Substituindo
:
Precisamos determinar a constante de integração
. Normalmente, escolhemos um ponto de referência onde o potencial é zero. Neste caso, podemos definir
(no raio do cilindro):
Então, substituindo
de volta na expressão para
:
Resposta
O potencial elétrico em pontos fora do cilindro (
) é dado por:
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no ponto
no ponto
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do infinito até o ponto
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Determine o potencial elétrico em pontos no interior do cilindro
: Seja um cilindro condutor maciço muito longo de raio
em equilfbrio eletrostático. Uma quantidade de carga elétrica está distribuida uniformemente ao longo de todo o seu comprimento com uma densidade linear de carga positiva
.
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. Mostre que a resistência elétrica deste sistema é
.