Determine o potencial elétrico em pontos fora do cilindro ( r>a ): Seja um cilindro condutor maciço muito longo de raio a em equilfbrio eletrostático. Uma quantidade de carga elétrica está distribuida uniformemente ao longo de todo o seu comprimento com uma densidade linear de carga positiva lambda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para determinar o potencial elétrico em pontos fora de um cilindro condutor muito longo (com raio ) que está em equilíbrio eletrostático. A carga elétrica está distribuída de forma uniforme ao longo do comprimento do cilindro, com uma densidade linear de carga positiva . Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o campo elétrico oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 fora do cilindro, ou seja, para distâncias E(r) cdot 2pi r L = lambda Lvarepsilon0 do eixo central. Como o cilindro é muito longo e a carga está distribuída uniformemente, podemos utilizar a Lei de Gauss, que ajuda a encontrar campos elétricos com alta simetria.
Imaginemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio E(r) = lambda2pi varepsilon0 r e comprimento que envolve o cilindro condutor. Pela simetria do problema, o campo elétrico será radial e perpendicular à superfície gaussiana, e terá o mesmo valor em todos os pontos dessa superfície.
A Lei de Gauss nos diz que:
Onde é a carga total dentro da superfície gaussiana. Como a densidade linear de carga é , a carga total dentro do cilindro gaussiano é .
Calculando a integral do lado esquerdo:
Simplificando, encontramos o campo elétrico fora do cilindro:

Passo 3

Agora que temos o campo elétrico E(r) = -dVdr , podemos encontrar o potencial elétrico V(r) = -integral E(r) , dr + C relacionando-o ao campo. A relação entre campo e potencial é dada por:
V(r) = -integral lambda2pi varepsilon0 r , dr + C = -lambda2pi varepsilon0 ln(r) + C
Para encontrar 0 = -lambda2pi varepsilon0 ln(a) + C implies C = lambda2pi varepsilon0 ln(a) , integramos o campo elétrico:
V(r) = -lambda2pi varepsilon0 ln(r) + lambda2pi varepsilon0 ln(a) = lambda2pi varepsilon0 ln(ar)
Substituindo :
Precisamos determinar a constante de integração . Normalmente, escolhemos um ponto de referência onde o potencial é zero. Neste caso, podemos definir (no raio do cilindro):
Então, substituindo de volta na expressão para :

Resposta

O potencial elétrico em pontos fora do cilindro ( V(r) = lambda2pi varepsilon0 ln(ar) ) é dado por:

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