Determine as potências indicadas usando o Teorema de De Moivre.
(1+i)^20

Passo 1

Beleza, vamos resolver a potência usando o Teorema de De Moivre. Isso envolve números complexos e trigonometria. Para resolver, vamos precisar entender como representar em forma polar e aplicar o teorema para calcular a potência.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o número complexo em sua forma polar. Um número complexo pode ser representado como , onde:
  • é o módulo de e é calculado por
  • é o argumento de e é dado por
No nosso caso, e .

Passo 3

Calculando o módulo :

Passo 4

Agora, calculamos o ângulo :

Passo 5

Então, podemos reescrever na forma polar:

Passo 6

Agora, aplicamos o Teorema de De Moivre, que diz que:
Aqui, .

Passo 7

Aplicando o teorema:
Simplificando:
E:

Passo 8

Sabemos que as funções cosseno e seno têm período , então:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão:

Resposta

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Determine todas as soluções da equação.
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