Determine as potências indicadas usando o Teorema de De Moivre.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a potência
usando o Teorema de De Moivre. Isso envolve números complexos e trigonometria. Para resolver, vamos precisar entender como representar
em forma polar e aplicar o teorema para calcular a potência.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar o número complexo
em sua forma polar. Um número complexo
pode ser representado como
, onde:
-
é o módulo de e é calculado por -
é o argumento de e é dado por
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Calculando o módulo
:
Passo 4
Agora, calculamos o ângulo
:
Passo 5
Então, podemos reescrever
na forma polar:
Passo 6
Agora, aplicamos o Teorema de De Moivre, que diz que:
Aqui,
.
Passo 7
Aplicando o teorema:
Simplificando:
E:
Passo 8
Sabemos que as funções cosseno e seno têm período
, então:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão:
Resposta
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.
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As raízes cúbicas de .
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