Determine as raízes indicadas Represente as raízes no plano complexo.
As raízes cúbicas de
.
As raízes cúbicas de
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de encontrar as raízes cúbicas de
. Primeiro, isso envolve trabalhar com números complexos e suas propriedades. Para isso, vamos precisar usar a forma polar dos números complexos e a fórmula de De Moivre, que nos ajuda a encontrar as raízes de um número complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar o número
na forma polar. Lembrando que qualquer número complexo pode ser escrito como
, onde
é o módulo e
é o argumento. Para
, temos:
O módulo
é:
E o argumento
é:
Então, na forma polar:
Passo 3
Agora, queremos encontrar as raízes cúbicas de
, ou seja, os números complexos
que satisfazem
. Usaremos a fórmula das raízes
-ésimas de um número complexo:
Aqui,
,
,
e
.
Passo 4
Calculando cada uma das três raízes:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
As raízes cúbicas de
são:
No plano complexo, essas raízes estão localizadas nos ângulos de
,
e
com respectivo módulo 1.
Exercícios relacionados
Determine as potências indicadas usando o Teorema de De Moivre.
Determine as potências indicadas usando o Teorema de De Moivre.
Escreva o número na forma
.
Calcule a expressão e escreva sua resposta na forma
.