Determine as potências indicadas usando o Teorema de De Moivre.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular
usando o Teorema de De Moivre. Esse teorema é super útil para elevar números complexos a potências, e pra isso a gente vai precisar transformar o número complexo na forma trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o número complexo
na forma trigonométrica . Para isso, precisamos encontrar o módulo
e o argumento
.
O módulo
é calculado por:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o argumento
. O argumento é o ângulo que o número complexo faz com o eixo real, e pode ser encontrado usando a tangente:
Então, podemos escrever:
Passo 4
Agora que temos o número na forma trigonométrica, vamos aplicar o Teorema de De Moivre, que diz:
No nosso caso,
, então:
Calculando:
Então:
Passo 5
Finalmente, podemos deixar a resposta na forma trigonométrica ou converter de volta para a forma binômica. Vamos fazer as duas:
Primeiro, calculando os valores de cosseno e seno:
Então:
Resposta
O valor de
é
.
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.
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As raízes cúbicas de
Escreva o número na forma
.