Determine as potências indicadas usando o Teorema de De Moivre.
(2 * raiz(3) + 2 * i)^5

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular usando o Teorema de De Moivre. Esse teorema é super útil para elevar números complexos a potências, e pra isso a gente vai precisar transformar o número complexo na forma trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o número complexo na forma trigonométrica . Para isso, precisamos encontrar o módulo e o argumento r.
O módulo theta é calculado por:
r

Passo 3

Agora, vamos encontrar o argumento theta. O argumento é o ângulo que o número complexo faz com o eixo real, e pode ser encontrado usando a tangente:
á
Então, podemos escrever:

Passo 4

Agora que temos o número na forma trigonométrica, vamos aplicar o Teorema de De Moivre, que diz:
No nosso caso, , então:
Calculando:
Então:

Passo 5

Finalmente, podemos deixar a resposta na forma trigonométrica ou converter de volta para a forma binômica. Vamos fazer as duas:
Primeiro, calculando os valores de cosseno e seno:
Então:

Resposta

O valor de é .

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(1+i)^20
Escreva o número na forma polar com o argumento entre 0 e 2 pi.
-3 + 3 i
Determine as raízes indicadas Represente as raízes no plano complexo.
As raízes cúbicas de i.
Escreva o número na forma a + i b.
e^(2 + i pi)