Determine as potências indicadas usando o teorema de De Moivre.
© (2 * raiz(3) + 2i)^7

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular usando o Teorema de De Moivre. Esse teorema é super útil quando temos números complexos na forma polar e queremos elevar a potências. Então, vamos precisar transformar o número complexo em sua forma polar e, em seguida, aplicar o teorema para encontrar a potência desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes do número complexo . Aqui, a parte real é e a parte imaginária é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo desse número complexo. O módulo é a distância do ponto ao origem no plano complexo e é dado por:
onde e . Então:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar o argumento do número complexo. O argumento é o ângulo que o número forma com o eixo real e pode ser calculado usando:

Passo 5

Agora que temos o módulo e o argumento , podemos escrever o número complexo na forma polar:

Passo 6

Vamos aplicar o Teorema de De Moivre, que diz que:
No nosso caso, , então:

Passo 7

Vamos calcular :
E os ângulos:
Então, temos:

Passo 8

Agora, vamos substituir os valores trigonométricos:
Portanto:
Simplificando:

Resposta

Exercícios relacionados