Determine as potências indicadas usando o teorema de De Moivre.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular
usando o Teorema de De Moivre. Esse teorema é super útil quando temos números complexos na forma polar e queremos elevar a potências. Então, vamos precisar transformar o número complexo em sua forma polar e, em seguida, aplicar o teorema para encontrar a potência desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes do número complexo
. Aqui, a parte real é
e a parte imaginária é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o módulo
desse número complexo. O módulo é a distância do ponto ao origem no plano complexo e é dado por:
onde
e
. Então:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar o argumento
do número complexo. O argumento é o ângulo que o número forma com o eixo real e pode ser calculado usando:
Passo 5
Agora que temos o módulo
e o argumento
, podemos escrever o número complexo na forma polar:
Passo 6
Vamos aplicar o Teorema de De Moivre, que diz que:
No nosso caso,
, então:
Passo 7
Vamos calcular
:
E os ângulos:
Então, temos:
Passo 8
Agora, vamos substituir os valores trigonométricos:
Portanto:
Simplificando: