Determine as raízes indicadas e as esboce no plano complexo de Argand-Gauss.
(e) As raízes quintas de -32
(e) As raízes quintas de -32
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as raízes quintas de -32 e esboçá-las no plano complexo de Argand-Gauss. Isso envolve conhecimentos de números complexos e radiciação em polinômios complexos. Vamos precisar usar a forma polar dos números complexos e aplicar a fórmula de De Moivre para encontrar todas as raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são raízes quintas. As raízes quintas de um número são os números que, elevados à quinta potência, retornam o número original. No caso, estamos procurando números complexos
tais que:
Passo 3
Para resolver isso, vamos expressar -32 na forma polar. Um número real negativo como -32 pode ser representado no plano complexo como:
Aqui, 32 é o módulo (ou a magnitude) e
é o argumento (ou ângulo) do número complexo.
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula de De Moivre para encontrar as raízes quintas. A fórmula nos diz que as raízes
são dadas por:
onde
(já que queremos cinco raízes distintas).
Passo 5
Calculando
:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular as cinco raízes substituindo
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 7
Essas são as cinco raízes quintas de -32. Cada uma delas está posicionada no plano complexo formando um pentágono regular, todos com módulo 2, mas com argumentos espaçados uniformemente de
radianos.
Resposta
As raízes quintas de -32 são:
No plano complexo de Argand-Gauss, essas raízes estão distribuídas uniformemente formando um pentágono de raio 2, com uma das raízes localizada no ponto (-2, 0).