Determine f', f'', f''' e f^(4), se
f(x) = 3 x^5 - 6 cos(x) + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar as primeiras quatro derivadas da função . O conteúdo aqui é de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções polinomiais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . Para derivar cada termo, usamos as seguintes regras:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de uma constante é 0.
Aplicando isso:
  • Derivada de :
  • Derivada de :
  • Derivada de : 0
Então, .

Passo 3

Agora, vamos para a segunda derivada . Vamos derivar .
  • Derivada de :
  • Derivada de :
Portanto, .

Passo 4

Seguimos para a terceira derivada . Derivando :
  • Derivada de :
  • Derivada de :
Assim, .

Passo 5

Por fim, vamos encontrar a quarta derivada derivando :
  • Derivada de :
  • Derivada de :
Portanto, .

Resposta

As derivadas são:

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