Seja
é diferenciável em 1? Justifique!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a função é diferenciável em . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre como verificar a diferenciabilidade de funções em pontos específicos. Para isso, vamos precisar analisar as derivadas laterais da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tem uma derivada definida nesse ponto. Isso significa que a função deve ser contínua ali e que as derivadas à esquerda e à direita desse ponto devem ser iguais.

Passo 3

Vamos verificar a continuidade da função em . Isso é importante porque, se a função não for contínua nesse ponto, ela não pode ser diferenciável nele. A função dada é:
Em , vamos calcular os limites:
Como , a função é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas laterais em . A derivada à esquerda é a derivada de em :
A derivada à direita é a derivada de uma constante, que é zero:

Passo 5

Para a função ser diferenciável em , as derivadas laterais devem ser iguais. Aqui, temos:
Como , as derivadas laterais não coincidem.

Resposta

Não, a função não é diferenciável em porque as derivadas laterais à esquerda e à direita nesse ponto são diferentes.

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O deslocamento (em metros) de um objeto movendo-se ao longo de uma reta é dado por
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Encontre .
Determine e , se