Determine f'(x) se u(x), v(x) e w(x) são funções deriváveis e: f(x) = 1 / (u(x) v(x) + v(x) w(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de uma função que é uma fração envolvendo outras funções. O enunciado é:
Aqui, , e são funções que podem ser derivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente e a regra do produto da derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a aplicação das regras de derivação. Podemos escrever:
Isso nos ajuda a visualizar que temos uma função composta, onde uma função está elevada a um expoente.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia é usada quando temos uma função dentro de outra função. No nosso caso, temos algo elevado a . A regra fala que a derivada de é . Aplicando isso:

Passo 4

Agora precisamos derivar o que está dentro do parêntese: . Para isso, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de é . Aplicando isso a cada termo:
Então, juntando os dois:

Passo 5

Agora, substituímos essa derivada de volta na expressão de :

Resposta

A derivada de é:

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