Determine
se
e
são funções deriváveis e:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de uma função que é uma fração envolvendo outras funções. O enunciado é:
Aqui,
,
e
são funções que podem ser derivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente e a regra do produto da derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a aplicação das regras de derivação. Podemos escrever:
Isso nos ajuda a visualizar que temos uma função composta, onde uma função está elevada a um expoente.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia é usada quando temos uma função dentro de outra função. No nosso caso, temos algo elevado a
. A regra fala que a derivada de
é
. Aplicando isso:
Passo 4
Agora precisamos derivar o que está dentro do parêntese:
. Para isso, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
. Aplicando isso a cada termo:
Então, juntando os dois:
Passo 5
Agora, substituímos essa derivada de volta na expressão de
:
Resposta
A derivada de
é: