Determine a primitiva para cada função. Verifique suas respostas derivando.

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a primitiva da função e depois conferir se tá certo fazendo a derivada dela.
Vamos precisar usar as regras de integração, especialmente para potências de . Não se preocupa se esses conceitos são novos, vou explicar tudo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a integração. A função dada é:
Isso pode ser escrito como:
Isso ajuda porque agora a função está numa forma que a gente sabe como integrar.

Passo 3

Agora, vamos integrar . A regra básica para integrar uma função da forma é:
onde é a constante de integração (porque existem infinitas primitivas que diferem apenas por uma constante).

Passo 4

Aplicando essa regra na nossa função:
Simplificando os expoentes:

Passo 5

Podemos reescrever a primitiva de uma maneira mais comum, evitando o expoente negativo:

Passo 6

Para verificar se está certinho, vamos derivar e ver se volta para :
Como a derivada de deu exatamente , está tudo certo!

Resposta

A primitiva de é:
onde é a constante de integração.

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