Use a Regra da Cadeia para encontrar d/z dt (ou d w / d t.)
w = ln(raiz(x^2 + y^2 + z^2)), x = sen(t), y = cos(t), z = tan(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar a Regra da Cadeia para encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . A matéria que vamos mexer aqui é cálculo diferencial, mais especificamente a Regra da Cadeia, que é super útil pra derivar funções compostas. Vamos precisar das expressões dadas: , com , e .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir as expressões de , e na equação de :

Passo 3

Simplificando dentro da raiz, sabemos que (identidade trigonométrica básica). Então:

Passo 4

Lembrando que , temos:
Como , e assumindo que está no intervalo onde é positiva, simplificamos para:

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a . A derivada de em relação a é . Então:
Sabemos que , então substituindo:

Resposta

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