Determine a primitiva para cada função. Verifique suas respostas derivando.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a primitiva da função
e depois verificar a resposta derivando. Isso está no campo do Cálculo, especificamente em integrais. Vamos precisar usar a regra de integração de funções trigonométricas e a técnica de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a primitiva de
em relação a
é
, onde
é a constante de integração. Aqui, nossa função dentro da secante ao quadrado é
, então vamos fazer uma substituição para facilitar.
Passo 3
Vamos deixar
. Assim, a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
, o que significa que
.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral usando essa substituição:
O 3 do
e o 1/3 do
se cancelam.
Passo 5
Simplificando a expressão, ficamos com:
Sabemos que
, então substituímos:
Passo 6
Calculando a integral:
Agora, voltamos à variável original substituindo
:
Passo 7
Substituindo de volta:
Então, essa é a primitiva da função dada.
Resposta
A primitiva da função é
.
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