Determine a primitiva para cada função. Verifique suas respostas derivando.
f(x) = 2/3 sec^2(x/3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a primitiva da função e depois verificar a resposta derivando. Isso está no campo do Cálculo, especificamente em integrais. Vamos precisar usar a regra de integração de funções trigonométricas e a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a primitiva de em relação a é , onde é a constante de integração. Aqui, nossa função dentro da secante ao quadrado é , então vamos fazer uma substituição para facilitar.

Passo 3

Vamos deixar . Assim, a derivada de em relação a é , ou seja, , o que significa que .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral usando essa substituição:
O 3 do e o 1/3 do se cancelam.

Passo 5

Simplificando a expressão, ficamos com:
Sabemos que , então substituímos:

Passo 6

Calculando a integral:
Agora, voltamos à variável original substituindo :

Passo 7

Substituindo de volta:
Então, essa é a primitiva da função dada.

Resposta

A primitiva da função é .

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