(a) Se f: R -> R é tal que |f| é contínua em x = 0, então f é contínua em x = 0.

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos pede para verificar se, quando a função é contínua em , isso significa que a função também é contínua em . Estamos lidando com o conceito de continuidade de funções reais e vamos precisar entender como a continuidade de uma função se relaciona com a continuidade do seu valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que é contínua em se o limite de quando se aproxima de 0 é igual a , ou seja:

Passo 3

Agora, sabemos que é contínua em . Isso quer dizer que:
Mas será que isso garante que:
? Vamos investigar!

Passo 4

Vamos considerar um contraexemplo para ver se a afirmação é sempre verdadeira. Imagine a seguinte função:
Vamos analisar e nesse caso.

Passo 5

Para , temos:
Ou seja, é constantemente igual a 1 em todo lugar, garantindo a continuidade em .
No entanto, olhando para em si:
Vemos que há um salto em , pois a função muda de 1 para -1, o que significa que não é contínua em .

Resposta

Portanto, a afirmação de que se é contínua em , então também é contínua em , não é verdadeira em geral.

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