Mostre que satisfaz a equação do calor

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que a função satisfaz a equação do calor, que é . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e depois verificar se essas derivadas são iguais conforme a equação do calor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, já que é um produto de e .

Passo 3

Calculando :
Vamos derivar cada parte separadamente.

Passo 4

Derivando em relação a :
Agora derivamos em relação a usando a regra da cadeia:

Passo 5

Substituindo as derivadas encontradas na expressão de :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . Primeiro, encontramos a primeira derivada em relação a :
Agora, derivamos novamente em relação a :

Passo 7

Comparando as expressões de e :
Observamos que as duas expressões são iguais.

Resposta

Portanto, mostramos que , ou seja, a função satisfaz a equação do calor.

Exercícios relacionados

Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua resposta derivando-a.)
37.
Se for contínua em , demonstre que
Para o caso onde e , faça um diagrama para interpretar geometricamente essa equação como uma igualdade de áreas.
Calcule pela definição.
Use a regra da cadeia para calcular , no ponto dado: