Mostre que
satisfaz a equação do calor
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que a função
satisfaz a equação do calor, que é
. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e depois verificar se essas derivadas são iguais conforme a equação do calor.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, já que
é um produto de
e
.
Passo 3
Calculando
:
Vamos derivar cada parte separadamente.
Passo 4
Derivando
em relação a
:
Agora derivamos
em relação a
usando a regra da cadeia:
Passo 5
Substituindo as derivadas encontradas na expressão de
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Primeiro, encontramos a primeira derivada em relação a
:
Agora, derivamos novamente em relação a
:
Passo 7
Comparando as expressões de
e
:
Observamos que as duas expressões são iguais.
Resposta
Portanto, mostramos que
, ou seja, a função
satisfaz a equação do calor.
Exercícios relacionados
Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua resposta derivando-a.)
37.
37.
Se
for contínua em
, demonstre que
Para o caso onde
e
, faça um diagrama para interpretar geometricamente essa equação como uma igualdade de áreas.
Calcule
pela definição.
Use a regra da cadeia para calcular
, no ponto dado: