Mostre que f(x, t)=t^-1 / 2 e^-x^2 / 4 t satisfaz a equação do calor
partial fpartial t=partial^2 fpartial x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que a função satisfaz a equação do calor, que é . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e depois verificar se essas derivadas são iguais conforme a equação do calor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, já que é um produto de e .

Passo 3

Calculando partial fpartial t = partialpartial t ( t^-1/2 ) e^-x^2/4t + t^-1/2 partialpartial t ( e^-x^2/4t ) :
Vamos derivar cada parte separadamente.

Passo 4

Derivando partialpartial t ( t^-1/2 ) = -12 t^-3/2 em relação a partialpartial t ( e^-x^2/4t ) = e^-x^2/4t cdot ( x^24t^2 ) :
Agora derivamos em relação a usando a regra da cadeia:

Passo 5

Substituindo as derivadas encontradas na expressão de partial fpartial t = ( -12 t^-3/2 ) e^-x^2/4t + t^-1/2 ( x^24t^2 e^-x^2/4t ) :
partial fpartial t = -12 t^-3/2 e^-x^2/4t + x^24 t^-5/2 e^-x^2/4t
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial fpartial x = t^-1/2 cdot ( -2x4t ) e^-x^2/4t = -x2t^3/2 e^-x^2/4t em relação a partial^2 fpartial x^2 = -12t^3/2 e^-x^2/4t + x^24t^5/2 e^-x^2/4t , ou seja, . Primeiro, encontramos a primeira derivada em relação a :
Agora, derivamos novamente em relação a :

Passo 7

Comparando as expressões de partial fpartial t = -12 t^-3/2 e^-x^2/4t + x^24 t^-5/2 e^-x^2/4t e partial^2 fpartial x^2 = -12 t^-3/2 e^-x^2/4t + x^24 t^-5/2 e^-x^2/4t :
Observamos que as duas expressões são iguais.

Resposta

Portanto, mostramos que , ou seja, a função satisfaz a equação do calor.

Exercícios relacionados