Seja
um vetor perpendicular a todo vetor
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um vetor
que é perpendicular a todo vetor
. Nosso objetivo é mostrar que
precisa ser o vetor nulo, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente sobre vetores perpendiculares e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois vetores são perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for igual a zero. O produto escalar de
e
é dado por:
Como isso vale para todo vetor
, vamos explorar o que isso implica sobre
.
Passo 3
Vamos considerar que
é um vetor no espaço
. Para que o produto escalar
seja verdadeiro para qualquer vetor
, o vetor
precisa ter componentes de tal forma que essa igualdade seja sempre satisfeita.
Passo 4
Vamos escrever
e
em termos de suas componentes:
O produto escalar
é:
Isso deve valer para qualquer vetor
, ou seja, para qualquer escolha dos valores de
.
Passo 5
Como a igualdade
deve ser válida para qualquer
, a única possibilidade é que todos os coeficientes
sejam zero. Caso contrário, poderíamos escolher um vetor
que tornaria a soma diferente de zero.
Passo 6
Portanto, concluímos que:
Ou seja, o vetor
é o vetor nulo.