Seja A um vetor perpendicular a todo vetor X. Mostre que A=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um vetor que é perpendicular a todo vetor . Nosso objetivo é mostrar que precisa ser o vetor nulo, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente sobre vetores perpendiculares e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois vetores são perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for igual a zero. O produto escalar de A cdot X = 0 e é dado por:
Como isso vale para todo vetor , vamos explorar o que isso implica sobre .

Passo 3

Vamos considerar que é um vetor no espaço . Para que o produto escalar seja verdadeiro para qualquer vetor , o vetor precisa ter componentes de tal forma que essa igualdade seja sempre satisfeita.

Passo 4

Vamos escrever A = (a1, a2, dots, an) e X = (x1, x2, dots, xn) em termos de suas componentes:
A cdot X = a1x1 + a2x2 + dots + anxn = 0
O produto escalar é:
Isso deve valer para qualquer vetor , ou seja, para qualquer escolha dos valores de .

Passo 5

Como a igualdade deve ser válida para qualquer , a única possibilidade é que todos os coeficientes sejam zero. Caso contrário, poderíamos escolher um vetor que tornaria a soma diferente de zero.

Passo 6

Portanto, concluímos que:
A = (0, 0, dots, 0)
Ou seja, o vetor é o vetor nulo.

Resposta

.

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