Provar que o espaço vetorial
é isomorfo ao subespaço
do
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar que o espaço vetorial
é isomorfo a um subespaço
de
, onde
. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais e isomorfismos. Para resolver, vamos precisar entender o que é um isomorfismo entre espaços vetoriais e como construir uma aplicação linear que seja bijetora entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois espaços vetoriais serem isomorfos. Dois espaços vetoriais são isomorfos se existe uma aplicação linear entre eles que é bijetora, ou seja, que é tanto injetora quanto sobrejetora. Essa aplicação é chamada de isomorfismo. Então, nosso objetivo é encontrar uma aplicação linear que conecta
a
de maneira que cada elemento de
corresponda a um único elemento em
e vice-versa.
Passo 3
Vamos definir uma aplicação que faz essa conexão. Vamos chamar essa aplicação de
. Definimos
da seguinte forma:
Essa função pega um vetor de
, que tem duas coordenadas
, e mapeia para um vetor em
com três coordenadas, onde a terceira coordenada é sempre zero.
Passo 4
Agora, precisamos mostrar que
é linear. Uma função é linear se ela respeita duas propriedades: aditividade e homogeneidade.
- Aditividade: Para quaisquer vetores
e em ,
Por outro lado,
Então,
respeita a aditividade.
- Homogeneidade: Para qualquer vetor
em e escalar ,
Enquanto,
Assim,
também respeita a homogeneidade.
Portanto,
é uma aplicação linear.
Passo 5
Agora, precisamos verificar se
é bijetora, ou seja, se é injetora e sobrejetora.
- Injetora: Suponha que
. Então,
Daí,
e
. Logo,
, o que mostra que
é injetora.
- Sobrejetora: Para todo vetor
em , existe um vetor em tal que . Isso mostra que cobre todo o subespaço , ou seja, é sobrejetora.
Como
é tanto injetora quanto sobrejetora, ela é bijetora.
Resposta
Portanto, a aplicação
definida por
é um isomorfismo entre
e
. Assim,
é isomorfo ao subespaço
de
.