Provar que o espaço vetorial I R^2 é isomorfo ao subespaço U=(x, y, z) in R^3 mid z=0 do I R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar que o espaço vetorial R^2 é isomorfo a um subespaço U de R^3, onde U = (x, y, z) in R^3 mid z = 0. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais e isomorfismos. Para resolver, vamos precisar entender o que é um isomorfismo entre espaços vetoriais e como construir uma aplicação linear que seja bijetora entre R^2 e U.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois espaços vetoriais serem isomorfos. Dois espaços vetoriais são isomorfos se existe uma aplicação linear entre eles que é bijetora, ou seja, que é tanto injetora quanto sobrejetora. Essa aplicação é chamada de isomorfismo. Então, nosso objetivo é encontrar uma aplicação linear que conecta R^2 a U de maneira que cada elemento de R^2 corresponda a um único elemento em U e vice-versa.

Passo 3

Vamos definir uma aplicação que faz essa conexão. Vamos chamar essa aplicação de T: R^2 to U. Definimos T da seguinte forma:
T(x, y) = (x, y, 0)
Essa função pega um vetor de R^2, que tem duas coordenadas (x, y), e mapeia para um vetor em U com três coordenadas, onde a terceira coordenada é sempre zero.

Passo 4

Agora, precisamos mostrar que T é linear. Uma função é linear se ela respeita duas propriedades: aditividade e homogeneidade.
  1. Aditividade: Para quaisquer vetores (x1, y1) e (x2, y2) em R^2,
T( (x1, y1) + (x2, y2) ) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2, y1 + y2, 0)
Por outro lado,
T(x1, y1) + T(x2, y2) = (x1, y1, 0) + (x2, y2, 0) = (x1 + x2, y1 + y2, 0)
Então, T respeita a aditividade.
  1. Homogeneidade: Para qualquer vetor (x, y) em R^2 e escalar k in R,
T(k(x, y)) = T(kx, ky) = (kx, ky, 0)
Enquanto,
kT(x, y) = k(x, y, 0) = (kx, ky, 0)
Assim, T também respeita a homogeneidade.
Portanto, T é uma aplicação linear.

Passo 5

Agora, precisamos verificar se T é bijetora, ou seja, se é injetora e sobrejetora.
  1. Injetora: Suponha que T(x1, y1) = T(x2, y2). Então,
(x1, y1, 0) = (x2, y2, 0)
Daí, x1 = x2 e y1 = y2. Logo, (x1, y1) = (x2, y2), o que mostra que T é injetora.
  1. Sobrejetora: Para todo vetor (x, y, 0) em U, existe um vetor (x, y) em R^2 tal que T(x, y) = (x, y, 0). Isso mostra que T cobre todo o subespaço U, ou seja, T é sobrejetora.
Como T é tanto injetora quanto sobrejetora, ela é bijetora.

Resposta

Portanto, a aplicação T: R^2 to U definida por T(x, y) = (x, y, 0) é um isomorfismo entre R^2 e U. Assim, R^2 é isomorfo ao subespaço U de R^3.

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