Determine u sabendo que este vetor tem norma raiz3, é ortogonal a (1,1,0) e a (-1,0,1), e forma ângulo agudo com (0,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar um vetor u que tem norma raiz3, é ortogonal aos vetores (1,1,0) e (-1,0,1), e forma um ângulo agudo com o vetor (0,1,0). Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre vetores ortogonais e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, como a u é ortogonal a dois vetores diferentes, ela deve estar na direção do produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. Então, vamos calcular o produto vetorial de (1,1,0) e (-1,0,1).

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial:
i & j & k 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 = i(1 cdot 1 - 0 cdot 0) - j(1 cdot 1 - 0 cdot (-1)) + k(1 cdot 0 - 1 cdot (-1))
Simplificando:
u = (1, -1, 1)

Passo 4

Agora, vamos verificar a norma desse vetor para ver se já está igual a raiz3. A norma de u é calculada por:
|u| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3
Então, a norma está correta!

Passo 5

Porém, precisamos garantir que o ângulo entre u e (0,1,0) seja agudo. Um ângulo agudo significa que o produto escalar entre os dois vetores deve ser positivo. Vamos calcular o produto escalar:
u cdot (0,1,0) = (1)(0) + (-1)(1) + (1)(0) = -1
Como o resultado é negativo, o ângulo não é agudo. Para corrigir isso, basta inverter a direção de u.

Passo 6

Invertendo a direção de u, temos:
u = (-1, 1, -1)
Agora, vamos verificar o produto escalar novamente:
u cdot (0,1,0) = (-1)(0) + (1)(1) + (-1)(0) = 1
Agora, o resultado é positivo, confirmando que o ângulo é agudo.

Resposta

O vetor u é (-1, 1, -1).

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