Determine sabendo que este vetor tem norma , é ortogonal a e a , e forma ângulo agudo com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar um vetor que tem norma , é ortogonal aos vetores e , e forma um ângulo agudo com o vetor . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre vetores ortogonais e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, como a é ortogonal a dois vetores diferentes, ela deve estar na direção do produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. Então, vamos calcular o produto vetorial de e .

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos verificar a norma desse vetor para ver se já está igual a . A norma de é calculada por:
Então, a norma está correta!

Passo 5

Porém, precisamos garantir que o ângulo entre e seja agudo. Um ângulo agudo significa que o produto escalar entre os dois vetores deve ser positivo. Vamos calcular o produto escalar:
Como o resultado é negativo, o ângulo não é agudo. Para corrigir isso, basta inverter a direção de .

Passo 6

Invertendo a direção de , temos:
Agora, vamos verificar o produto escalar novamente:
Agora, o resultado é positivo, confirmando que o ângulo é agudo.

Resposta

O vetor é .

Exercícios relacionados

Questão 11 Para cada um dos seguintes, mostre que os vetores dados são linearmente independentes em .

  • onde é o espaço vetorial de funções continuas no intervalo .
Seja o espaço vetorial das funções contínuas a valores reais, isto é . Mostre que a função , que associa a cada função o valor real da integral definida de no intervalo , isto é,
é uma transformação linear.
Determine a expressão algébrica da transformação linear que leva os vetores da base canônica nos seguintes vetores de :
(a) Determine o produto escalar dos vetores e , sabendo que e .