Determine sabendo que este vetor tem norma , é ortogonal a e a , e forma ângulo agudo com .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar um vetor que tem norma , é ortogonal aos vetores e , e forma um ângulo agudo com o vetor . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre vetores ortogonais e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, como a é ortogonal a dois vetores diferentes, ela deve estar na direção do produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. Então, vamos calcular o produto vetorial de e .
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos verificar a norma desse vetor para ver se já está igual a . A norma de é calculada por:
Então, a norma está correta!
Passo 5
Porém, precisamos garantir que o ângulo entre e seja agudo. Um ângulo agudo significa que o produto escalar entre os dois vetores deve ser positivo. Vamos calcular o produto escalar:
Como o resultado é negativo, o ângulo não é agudo. Para corrigir isso, basta inverter a direção de .
Passo 6
Invertendo a direção de , temos:
Agora, vamos verificar o produto escalar novamente:
Agora, o resultado é positivo, confirmando que o ângulo é agudo.