Determine a projeção ortogonal de u na direção de v.
a) u=(2,1) e v=(-3,2)

Passo 1

Beleza, temos um exercício de álgebra vetorial onde precisamos encontrar a projeção ortogonal do vetor u = (2,1) na direção do vetor v = (-3,2). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é projeção ortogonal e usar a fórmula específica para calcular essa projeção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é projeção ortogonal. Imagine que você tem dois vetores no plano: u e v. A projeção de u na direção de v é o vetor que representa o “sombra” de u quando iluminamos na direção perpendicular a v. Matematicamente, a projeção é calculada usando o produto escalar e o módulo (ou comprimento) do vetor v.

Passo 3

A fórmula para a projeção ortogonal de u na direção de v é:
projv u = ( u cdot v||v||^2 ) v
Onde:
  • u cdot v é o produto escalar entre u e v.
  • ||v|| é o módulo (comprimento) de v.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Produto Escalar u cdot v:
    u cdot v = (2)(-3) + (1)(2) = -6 + 2 = -4
  2. Módulo de v ao quadrado ||v||^2:
    ||v||^2 = (-3)^2 + (2)^2 = 9 + 4 = 13
  3. Aplicando na fórmula:
    projv u = ( -413 ) v = ( -413 ) (-3, 2)

Passo 5

Agora, vamos multiplicar cada componente de v pelo fator -413:
( -413 ) (-3, 2) = ( 1213, -813 )

Resposta

A projeção ortogonal de u na direção de v é:
( 1213, -813 )

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