Resolver os sistemas homogêneos abaixo:
l 4 x+3 y-z+t=0 x-y+2 z-t=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações homogêneas que envolve quatro variáveis: , , e . A ideia aqui é encontrar todos os valores dessas variáveis que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, especificamente métodos de substituição e eliminação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
4x + 3y - z + t = 0 x - y + 2z - t = 0

Passo 3

Vamos resolver uma das equações para uma das variáveis, por exemplo, da segunda equação, podemos isolar x = y - 2z + t :

Passo 4

Agora que temos 4(y - 2z + t) + 3y - z + t = 0 em função de , e , vamos substituir esse valor na primeira equação:

Passo 5

Vamos distribuir o 4 e simplificar os termos:
4y - 8z + 4t + 3y - z + t = 0 (4y + 3y) + (-8z - z) + (4t + t) = 0 7y - 9z + 5t = 0

Passo 6

Agora temos uma equação com três variáveis. Vamos expressar 7y = 9z - 5t y = 97z - 57t em função de e :

Passo 7

Agora que temos x = y - 2z + t = (97z - 57t) - 2z + t = (97 - 2)z + (-57 + 1)t = -57z + 27t e y = 97z - 57t em termos de z = z e t = t , podemos escrever todas as variáveis em função de e :

Resposta

As soluções do sistema são dadas por:
x = -dfrac57z + dfrac27t y = dfrac97z - dfrac57t z = z t = t
Onde e podem ser quaisquer números reais.

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