Resolver os sistemas homogêneos abaixo:
l 3 x+2 y-12 z=0 x-y+z=0 2 x-3 y+5 z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações homogêneas que você me mandou. O assunto aqui é sistemas lineares, e a gente vai precisar usar métodos de eliminação ou substituição para encontrar os valores das variáveis , e . Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
3x + 2y - 12z = 0 x - y + z = 0 2x - 3y + 5z = 0
Vamos usar o método de substituição para simplificar. Vamos começar isolando uma variável em uma das equações mais simples. A segunda equação parece uma boa candidata.
A segunda equação é:
x - y + z = 0
Vamos isolar x = y - z :

Passo 3

Agora que temos 3(y - z) + 2y - 12z = 0 em termos de 3y - 3z + 2y - 12z = 0 e (3y + 2y) + (-3z - 12z) = 0 5y - 15z = 0 , vamos substituir esse valor nas outras duas equações para reduzir o número de variáveis.
Substituindo y - 3z = 0 y = 3z na primeira equação:
Distribuindo o 3:
Juntando os termos semelhantes:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 5:

Passo 4

Agora, vamos substituir x = y - z x = 3z - z x = 2z na expressão que encontramos para :

Passo 5

Por último, vamos substituir 2x - 3y + 5z = 0 2(2z) - 3(3z) + 5z = 0 4z - 9z + 5z = 0 (4z + 5z) - 9z = 0 9z - 9z = 0 0 = 0 e na terceira equação original para verificar a consistência:
Isso confirma que nossas expressões para e estão corretas.

Resposta

As soluções do sistema são todas as tríades (x, y, z) = (2z, 3z, z) = z(2, 3, 1) que podem ser escritas como:
onde é qualquer número real.

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