Sejam
e
espaços vetoriais sobre
e
uma transformação linear. Provar que, se
é tal que
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que, se
é um conjunto de vetores em
que “gera” todo o espaço
(ou seja,
), então a “imagem” de
através da transformação linear
também gera toda a imagem de
(
). Estamos trabalhando com transformações lineares em espaços vetoriais sobre
. Vamos precisar entender conceitos como espaço gerado, transformação linear, e imagem de uma transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em
. Ou seja,
é um conjunto gerador para
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a transformação linear
. A imagem de
,
, é o conjunto de todos os vetores em
que são imagens de vetores em
através de
.
Passo 4
Como
gera
, qualquer vetor
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em
. Vamos aplicar
a essa combinação linear. Devido à linearidade de
, temos:
Isso mostra que qualquer vetor na imagem de
pode ser escrito como uma combinação linear das imagens dos vetores em
.
Passo 5
Então, todo vetor em
está no espaço gerado por
. Isso significa que
.
Passo 6
Por outro lado, claramente
é um subconjunto de
, já que
.
Passo 7
Como temos
e
, concluímos que
.
Resposta
Portanto, se
satisfaz
, então
.