Sejam U e V espaços vetoriais sobre R e F: U V uma transformação linear. Provar que, se B subset U é tal que [B]=U, então [F(B)]=Im(F).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que, se é um conjunto de vetores em que “gera” todo o espaço (ou seja, ), então a “imagem” de através da transformação linear também gera toda a imagem de ( ). Estamos trabalhando com transformações lineares em espaços vetoriais sobre . Vamos precisar entender conceitos como espaço gerado, transformação linear, e imagem de uma transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em . Ou seja, é um conjunto gerador para .

Passo 3

Agora, vamos considerar a transformação linear . A imagem de , , é o conjunto de todos os vetores em que são imagens de vetores em através de .

Passo 4

Como F(sumi=1^n alphai bi) = sumi=1^n alphai F(bi) gera , qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em . Vamos aplicar a essa combinação linear. Devido à linearidade de , temos:
Isso mostra que qualquer vetor na imagem de pode ser escrito como uma combinação linear das imagens dos vetores em .

Passo 5

Então, todo vetor em está no espaço gerado por . Isso significa que .

Passo 6

Por outro lado, claramente é um subconjunto de , já que .

Passo 7

Como temos e , concluímos que .

Resposta

Portanto, se satisfaz , então .

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