Determine a projeção do vetor sobre o vetor sendo os pontos e . Em seguida de termine o ângulo entre e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para a gente encontrar a projeção do vetor sobre o vetor , dados os pontos , e . Depois, também precisamos determinar o ângulo entre esses dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa vetor e . O vetor vai de para , e o vetor vai de para . Para encontrar esses vetores, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de e .
Então, vamos calcular:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a projeção de sobre . A fórmula para a projeção de um vetor sobre um vetor é:
Aqui, é o produto escalar dos vetores, e é o módulo (ou comprimento) de .
Vamos calcular o produto escalar :
Agora, o módulo de :
Então, .
Agora, aplicando na fórmula da projeção:

Passo 4

Legal! Agora vamos determinar o ângulo entre os vetores e . Para isso, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Já calculamos e . Vamos calcular o módulo de :
Agora, substituindo na fórmula:
Para encontrar o ângulo , tiramos o arco cosseno de 1:
Isso significa que os vetores estão na mesma direção.

Resposta

A projeção do vetor sobre o vetor é e o ângulo entre e é .

Exercícios relacionados

Justifique se as expressões abaixo fazem sentido e, em caso afirmativo, diga se elas representam um número ou um vetor:
Mostre que, para quaisquer vetores e vale .
Questão 1. Em cada caso abaixo, determine a matriz inversa da matriz dada, caso seja inversível, e marque o único item que corresponde aos valores corretos.
Em sua resposta, considere
Questão 1. Em cada caso abaixo, determine a matriz inversa da matriz dada, caso seja inversível, e marque o único item que corresponde aos valores corretos.
Em sua resposta, considere