Determine a projeção do vetor sobre o vetor sendo os pontos e . Em seguida de termine o ângulo entre e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para a gente encontrar a projeção do vetor sobre o vetor , dados os pontos , e . Depois, também precisamos determinar o ângulo entre esses dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa vetor e . O vetor vai de para , e o vetor vai de para . Para encontrar esses vetores, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de e .
Então, vamos calcular:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a projeção de sobre . A fórmula para a projeção de um vetor sobre um vetor é:
Aqui, é o produto escalar dos vetores, e é o módulo (ou comprimento) de .
Vamos calcular o produto escalar :
Agora, o módulo de :
Então, .
Agora, aplicando na fórmula da projeção:
Passo 4
Legal! Agora vamos determinar o ângulo entre os vetores e . Para isso, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Já calculamos e . Vamos calcular o módulo de :
Agora, substituindo na fórmula:
Para encontrar o ângulo , tiramos o arco cosseno de 1:
Isso significa que os vetores estão na mesma direção.
Resposta
A projeção do vetor sobre o vetor é e o ângulo entre e é .