Determine a projeção do vetor sobre o vetor B C sendo os pontos A=(3 ; 2 ; 1), B=(5 ; 0 ; 2) e C=(1 ; 4 ; 0). Em seguida de termine o ângulo entre B A e B C.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para a gente encontrar a projeção do vetor BA sobre o vetor BC, dados os pontos A=(3, 2, 1), B=(5, 0, 2) e C=(1, 4, 0). Depois, também precisamos determinar o ângulo entre esses dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa vetor BA e BC. O vetor BA vai de B para A, e o vetor BC vai de B para C. Para encontrar esses vetores, subtraímos as coordenadas de B das coordenadas de A e C.
Então, vamos calcular:
BA = A - B = (3-5, , 2-0, , 1-2) = (-2, , 2, , -1)
BC = C - B = (1-5, , 4-0, , 0-2) = (-4, , 4, , -2)
Passo 3
Agora, vamos encontrar a projeção de BA sobre BC. A fórmula para a projeção de um vetor u sobre um vetor v é:
Projv u = ( u cdot v|v|^2 ) v
Aqui, u cdot v é o produto escalar dos vetores, e |v| é o módulo (ou comprimento) de v.
Vamos calcular o produto escalar BA cdot BC:
BA cdot BC = (-2)(-4) + (2)(4) + (-1)(-2) = 8 + 8 + 2 = 18