Determine a projeção do vetor B A sobre o vetor B C sendo os pontos A=(3 ; 2 ; 1), B=(5 ; 0 ; 2) e C=(1 ; 4 ; 0). Em seguida de termine o ângulo entre B A e B C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para a gente encontrar a projeção do vetor BA sobre o vetor BC, dados os pontos A=(3, 2, 1), B=(5, 0, 2) e C=(1, 4, 0). Depois, também precisamos determinar o ângulo entre esses dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa vetor BA e BC. O vetor BA vai de B para A, e o vetor BC vai de B para C. Para encontrar esses vetores, subtraímos as coordenadas de B das coordenadas de A e C.
Então, vamos calcular:
BA = A - B = (3-5, , 2-0, , 1-2) = (-2, , 2, , -1)
BC = C - B = (1-5, , 4-0, , 0-2) = (-4, , 4, , -2)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a projeção de BA sobre BC. A fórmula para a projeção de um vetor u sobre um vetor v é:
Projv u = ( u cdot v|v|^2 ) v
Aqui, u cdot v é o produto escalar dos vetores, e |v| é o módulo (ou comprimento) de v.
Vamos calcular o produto escalar BA cdot BC:
BA cdot BC = (-2)(-4) + (2)(4) + (-1)(-2) = 8 + 8 + 2 = 18
Agora, o módulo de BC:
|BC| = raiz(-4)^2 + 4^2 + (-2)^2 = raiz16 + 16 + 4 = raiz36 = 6
Então, |BC|^2 = 6^2 = 36.
Agora, aplicando na fórmula da projeção:
ProjBC BA = ( 1836 ) BC = ( 12 ) (-4, , 4, , -2) = (-2, , 2, , -1)

Passo 4

Legal! Agora vamos determinar o ângulo entre os vetores BA e BC. Para isso, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos theta = BA cdot BC|BA| , |BC|
Já calculamos BA cdot BC = 18 e |BC| = 6. Vamos calcular o módulo de BA:
|BA| = raiz(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz4 + 4 + 1 = raiz9 = 3
Agora, substituindo na fórmula:
cos theta = 183 times 6 = 1818 = 1
Para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno de 1:
theta = cos^-1(1) = 0^circ
Isso significa que os vetores estão na mesma direção.

Resposta

A projeção do vetor BA sobre o vetor BC é (-2, , 2, , -1) e o ângulo entre BA e BC é 0^circ.

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