Questão 1. Em cada caso abaixo, determine a matriz inversa da matriz dada, caso seja inversível, e marque o único item que corresponde aos valores corretos.
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz de ordem 3x3 e precisa descobrir se ela tem uma inversa. Se tiver, a gente vai calcular essa matriz inversa. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear, como o determinante e a matriz adjunta. Vamos precisar entender como calcular o determinante de uma matriz 3x3 e como encontrar a matriz dos cofatores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A = 2 & 1 & 1 -1 & 2 & 1 1 & 0 & 1 . O determinante é tipo um número que nos diz se a matriz tem inversa ou não. Se o determinante for diferente de zero, a matriz tem inversa.
a = 2, b = 1, c = 1, d = -1, e = 2, f = 1, g = 1, h = 0, i = 1
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
ei - fh = 2 times 1 - 1 times 0 = 2
Onde, para nossa matriz di - fg = (-1) times 1 - 1 times 1 = -1 -1 = -2 :
dh - eg = (-1) times 0 - 2 times 1 = 0 -2 = -2
Vamos calcular cada parte:
det(A) = 2 times 2 - 1 times (-2) + 1 times (-2) = 4 + 2 -2 = 4
Agora, substituindo na fórmula:
Como o determinante é 4, que é diferente de zero, a matriz tem inversa.
Passo 3
Agora que sabemos que Cij = (-1)^i+j times det(Mij) é inversível, vamos calcular a matriz adjunta de M11 = 2 & 1 0 & 1 , det(M11) = 2 times 1 - 1 times 0 = 2 . A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores.
Primeiro, vamos encontrar a matriz dos cofatores. Para cada elemento C11 = (-1)^1+1 times 2 = 1 times 2 = 2 de M12 = -1 & 1 1 & 1 , det(M12) = (-1) times 1 - 1 times 1 = -1 -1 = -2 , o cofator C12 = (-1)^1+2 times (-2) = -1 times (-2) = 2 é dado por:
Onde C13 = (-1)^1+3 times (-2) = 1 times (-2) = -2 é a matriz que sobra após remover a linha M21 = 1 & 1 0 & 1 , det(M21) = 1 times 1 - 1 times 0 = 1 e a coluna C21 = (-1)^2+1 times 1 = -1 times 1 = -1 de M22 = 2 & 1 1 & 1 , det(M22) = 2 times 1 - 1 times 1 = 2 -1 = 1 .
A próxima etapa é encontrar a matriz adjunta de adj(A) = C^T = 2 & -1 & -1 2 & 1 & -3 -2 & 1 & 5 , que é simplesmente a transposta da matriz dos cofatores .
Transpondo :
Passo 5
Finalmente, a matriz inversa de A^-1 = 1det(A) times adj(A) = 14 times 2 & -1 & -1 2 & 1 & -3 -2 & 1 & 5 = 24 & -14 & -14 24 & 14 & -34 -24 & 14 & 54 é dada por:
Agora, vamos comparar essa matriz inversa com as opções fornecidas:
Nenhuma dessas opções parece corresponder à matriz inversa que calculamos. Parece que houve um engano nas opções fornecidas para a questão a). Certifique-se de verificar se as opções estão corretas ou se há outras opções disponíveis.
Resposta
Nenhuma das matrizes fornecidas A^-1 = 0,5 & -0,25 & -0,25 0,5 & 0,25 & -0,75 -0,5 & 0,25 & 1,25 corresponde à inversa correta de . A matriz inversa de é: