Determine as projeções de uma reta de máxima inclinação de um plano definido por duas retas paralelas (A)(B) e (C)(D), sem determinar os traços do plano. Considere:
(A) [0 ;-4 ;-1]
(B) [-3 ;-2 ;-4];
© [-5 ;-3 ;-2]; e
(D) [-8 ; ? ; ?].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as projeções de uma reta de máxima inclinação em um plano definido por duas retas paralelas, chamadas (A)(B) e ©(D). O conteúdo que vamos usar aqui envolve vetores e geometria analítica. Precisamos identificar as direções das retas dadas e, a partir disso, determinar a reta de máxima inclinação no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as retas (A)(B) e ©(D). Cada letra representa um ponto no espaço com coordenadas:
  • A: (0, -4, -1)
  • B: (-3, -2, -4)
  • C: (-5, -3, -2)
  • D: (-8, ?, ?)
Como as retas são paralelas, os vetores diretores delas são iguais.

Passo 3

Vamos encontrar o vetor diretor da reta (A)(B). Para isso, subtraímos as coordenadas de A pelas de B:
AB = B - A = (-3 - 0, -2 - (-4), -4 - (-1)) = (-3, 2, -3)
Então, o vetor diretor é d = (-3, 2, -3).

Passo 4

Como as retas são paralelas, o vetor diretor da reta ©(D) também é d = (-3, 2, -3). Sabemos o ponto C: (-5, -3, -2). Queremos encontrar as coordenadas de D: (-8, y, z).

Passo 5

Vamos escrever a equação vetorial da reta ©(D):
CD = D - C = (-8 - (-5), y - (-3), z - (-2)) = (-3, y + 3, z + 2)
Como o vetor diretor é d = (-3, 2, -3), temos:
(-3, y + 3, z + 2) = (-3, 2, -3)
Isso nos dá:
y + 3 = 2 Rightarrow y = -1
z + 2 = -3 Rightarrow z = -5

Passo 6

Agora que temos todas as coordenadas de D: (-8, -1, -5), podemos descrever o plano definido pelas retas (A)(B) e ©(D). Para encontrar a reta de máxima inclinação nesse plano, precisamos considerar a direção da inclinação máxima, que é perpendicular à projeção horizontal.

Passo 7

A reta de máxima inclinação em um plano é aquela que tem a maior variação na direção vertical. Isso significa que sua projeção no plano horizontal será paralela à direção da inclinação máxima. Como já temos o vetor diretor do plano, podemos usar esse vetor para determinar a direção da reta de máxima inclinação.

Passo 8

A direção da reta de máxima inclinação é dada pelo vetor normal ao plano. Para encontrar o vetor normal, calculamos o produto vetorial entre os vetores diretores das retas (A)(B) e ©(D). Porém, como as retas são paralelas, precisamos de outro vetor no plano. Podemos usar o vetor que une os pontos A e C:
AC = C - A = (-5 - 0, -3 - (-4), -2 - (-1)) = (-5, 1, -1)

Passo 9

Agora, calculamos o produto vetorial AB times AC:
n = AB times AC = i & j & k -3 & 2 & -3 -5 & 1 & -1 = i(2 cdot (-1) - (-3) cdot 1) - j(-3 cdot (-1) - (-3) cdot (-5)) + k(-3 cdot 1 - 2 cdot (-5))
= i(-2 + 3) - j(3 - 15) + k(-3 + 10)
= i(1) - j(-12) + k(7) = (1, 12, 7)
Então, o vetor normal ao plano é n = (1, 12, 7).

Passo 10

A reta de máxima inclinação será paralela ao vetor normal do plano. Portanto, a direção da reta de máxima inclinação é n = (1, 12, 7). Para encontrar as projeções dessa reta no espaço, consideramos sua orientação nos eixos coordenados.

Passo 11

As projeções da reta de máxima inclinação serão nos planos xy, yz e xz. Utilizando o vetor diretor n = (1, 12, 7), as projeções são:
  • Projeção no plano xy: (1, 12, 0)
  • Projeção no plano yz: (0, 12, 7)
  • Projeção no plano xz: (1, 0, 7)

Resposta

As projeções da reta de máxima inclinação no plano definido são:
  • Projeção no plano xy: (1, 12, 0)
  • Projeção no plano yz: (0, 12, 7)
  • Projeção no plano xz: (1, 0, 7)

Exercícios relacionados