Determine as projeções de uma reta de máxima inclinação de um plano definido por duas retas paralelas
e
, sem determinar os traços do plano. Considere:
(A)
(B)
;
©
; e
(D)
.
(A)
(B)
©
(D)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as projeções de uma reta de máxima inclinação em um plano definido por duas retas paralelas, chamadas (A)(B) e ©(D). O conteúdo que vamos usar aqui envolve vetores e geometria analítica. Precisamos identificar as direções das retas dadas e, a partir disso, determinar a reta de máxima inclinação no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as retas (A)(B) e ©(D). Cada letra representa um ponto no espaço com coordenadas:
- A:
- B:
- C:
- D:
Como as retas são paralelas, os vetores diretores delas são iguais.
Passo 3
Vamos encontrar o vetor diretor da reta (A)(B). Para isso, subtraímos as coordenadas de A pelas de B:
Então, o vetor diretor é
.
Passo 4
Como as retas são paralelas, o vetor diretor da reta ©(D) também é
. Sabemos o ponto C:
. Queremos encontrar as coordenadas de D:
.
Passo 5
Vamos escrever a equação vetorial da reta ©(D):
Como o vetor diretor é
, temos:
Isso nos dá:
Passo 6
Agora que temos todas as coordenadas de D:
, podemos descrever o plano definido pelas retas (A)(B) e ©(D). Para encontrar a reta de máxima inclinação nesse plano, precisamos considerar a direção da inclinação máxima, que é perpendicular à projeção horizontal.
Passo 7
A reta de máxima inclinação em um plano é aquela que tem a maior variação na direção vertical. Isso significa que sua projeção no plano horizontal será paralela à direção da inclinação máxima. Como já temos o vetor diretor do plano, podemos usar esse vetor para determinar a direção da reta de máxima inclinação.
Passo 8
A direção da reta de máxima inclinação é dada pelo vetor normal ao plano. Para encontrar o vetor normal, calculamos o produto vetorial entre os vetores diretores das retas (A)(B) e ©(D). Porém, como as retas são paralelas, precisamos de outro vetor no plano. Podemos usar o vetor que une os pontos A e C:
Passo 9
Agora, calculamos o produto vetorial
:
Então, o vetor normal ao plano é
.
Passo 10
A reta de máxima inclinação será paralela ao vetor normal do plano. Portanto, a direção da reta de máxima inclinação é
. Para encontrar as projeções dessa reta no espaço, consideramos sua orientação nos eixos coordenados.
Passo 11
As projeções da reta de máxima inclinação serão nos planos xy, yz e xz. Utilizando o vetor diretor
, as projeções são:
- Projeção no plano xy:
- Projeção no plano yz:
- Projeção no plano xz:
Resposta
As projeções da reta de máxima inclinação no plano definido são:
- Projeção no plano xy:
- Projeção no plano yz:
- Projeção no plano xz:
Exercícios relacionados
Dado um plano
paralelo à linha de terra, construa as projeções da reta
do plano, sabendo que:
(M)
(N)
Cota de
Afastamento de .
(M)
(N)
Cota de
Afastamento de
Determine as projeções de um ponto (A) situado em um plano de topo (
) que contém o ponto
, considerando:
(T) ;
(A) ;
(T)
(A)
A reta
pertence ao plano
, paralelo à linha de terra. O plano
intercepta o plano (
), que também é paralelo à linha de terra. Apresente a reta interseção (i) entre os dois planos. Considere:
(A)
(B) ;
tem afastamento igual a 3 ; e
(A)
(B)
Considere um ponto
e um plano
, paralelo à Linha de Terra, que contém o ponto
. Apresente, com base no ponto (Q), um plano (
) paralelo ao plano (
) e que contém o ponto
. Dados:
§ ; e
(Q) .
§
(Q)