Determine em quanto tempo o investimento A será triplicado. A) 13 anos, 3 meses e 13 dias. B) 14 anos C) 14,28 anos D) 14 anos, 3 meses e 13 dias. E) 15

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir em quanto tempo o investimento A vai triplicar. Isso envolve matemática financeira, especialmente o conceito de juros compostos. Para resolver, vamos precisar entender como os juros compostos funcionam e usar algumas fórmulas básicas para calcular o tempo necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o cálculo dos juros compostos. A fórmula básica é:
A = P times (1 + r)^t
Onde:
  • $ A $ é o valor final do investimento.
  • $ P $ é o valor principal (o investimento inicial).
  • $ r $ é a taxa de juros por período.
  • $ t $ é o tempo em períodos.
No nosso caso, queremos que o investimento triplique, então $ A = 3P $. Vamos substituir na fórmula:
A

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa equação. Dividindo ambos os lados por $ P $:
P
Para resolver para $ t $, vamos usar logaritmos. Aplicando o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
3 = (1 + r)^t
Usando a propriedade dos logaritmos, podemos trazer o expoente para frente:
t
Agora, isolamos $ t $:
ln(3) = ln( (1 + r)^t )

Passo 4

Para continuar, precisamos da taxa de juros $ r $. Supondo que a taxa de juros anual seja de 8% (ou 0,08 em decimal), substituímos na fórmula:
r
Calculando os valores:
t = ln(3)ln(1 + 0,08)

Passo 5

Agora, vamos converter esses 0,25 anos em meses e dias para deixar a resposta mais precisa. Sabemos que:
  • 0,25 anos × 12 meses/ano = 3 meses
  • 0,25 anos × 365 dias/ano ≈ 91,25 dias
Então, aproximando:
  • 0,25 anos ≈ 3 meses e 13 dias

Resposta

Portanto, o investimento A será triplicado em 14 anos, 3 meses e 13 dias. A opção correta é a D.

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