Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência, analise a sua convergência e encontre o limite caso exista: t_n = (sen(2n + 1) + n) / (2n + 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os quatro primeiros termos da sequência definida por . Depois disso, precisamos analisar se essa sequência converge e, se sim, descobrir qual é o seu limite. Para resolver isso, vamos precisar calcular os termos da sequência para os primeiros valores de e entender como a função se comporta quando fica grande.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os quatro primeiros termos da sequência substituindo por 1, 2, 3 e 4 na fórmula dada.
  1. Para :
    Calculando (em radianos):
    Então:
  2. Para :
    Calculando :
    Então:
  3. Para :
    Calculando :
    Então:
  4. Para :
    Calculando :
    Então:
Então, os quatro primeiros termos da sequência são aproximadamente:

Passo 3

Agora, vamos analisar se a sequência converge, ou seja, se ela tende a um valor específico conforme fica muito grande (tende ao infinito). Para isso, observamos a expressão geral da sequência:
Vamos dividir o numerador e o denominador por para simplificar:
Analisando cada parte:
  • : Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Então, vai entre e . Conforme cresce, tende a 0. Portanto, também tende a 0.
  • : Claramente, tende a 0 quando tende ao infinito.
Substituindo essas observações na expressão:
Portanto, a sequência converge para quando tende ao infinito.

Resposta

Os quatro primeiros termos da sequência são aproximadamente 0.3804, 0.2082, 0.5224 e 0.4891. A sequência converge e o seu limite é (ou 0.5).

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