Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência, analise a sua convergência e encontre o limite caso exista:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os quatro primeiros termos da sequência definida por
. Depois disso, precisamos analisar se essa sequência converge e, se sim, descobrir qual é o seu limite. Para resolver isso, vamos precisar calcular os termos da sequência para os primeiros valores de
e entender como a função se comporta quando
fica grande.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os quatro primeiros termos da sequência substituindo
por 1, 2, 3 e 4 na fórmula dada.
-
Para
: Calculando(em radianos): Então: -
Para
: Calculando: Então: -
Para
: Calculando: Então: -
Para
: Calculando: Então:
Então, os quatro primeiros termos da sequência são aproximadamente:
Passo 3
Agora, vamos analisar se a sequência converge, ou seja, se ela tende a um valor específico conforme
fica muito grande (tende ao infinito). Para isso, observamos a expressão geral da sequência:
Vamos dividir o numerador e o denominador por
para simplificar:
Analisando cada parte:
-
: Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Então, vai entre e . Conforme cresce, tende a 0. Portanto, também tende a 0. -
: Claramente, tende a 0 quando tende ao infinito.
Substituindo essas observações na expressão:
Portanto, a sequência
converge para
quando
tende ao infinito.
Resposta
Os quatro primeiros termos da sequência são aproximadamente 0.3804, 0.2082, 0.5224 e 0.4891. A sequência converge e o seu limite é
(ou 0.5).
Exercícios relacionados
Os dois primeiros termos de algumas progressões aritméticas são dados abaixo. Escreva o termo geral e determine o termo indicado.
?;
Escreva os cinco primeiros termos de cada sequência (supondo que começa em
).
;
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Qual é o
termo nesta sequência:
?