Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite. a_n = ((n + 2) / (n + 1)) n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se a sequência é divergente ou convergente. Se for convergente, a gente também precisa encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de limites de sequências e entender como calcular o limite de expressões que envolvem potências e frações.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da potência: . Quando cresce, tanto o numerador quanto o denominador aumentam, mas queremos ver qual é o comportamento dessa fração conforme tende ao infinito.

Passo 3

Vamos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador por :
À medida que se aproxima do infinito, e tendem a zero. Então, a fração se aproxima de:

Passo 4

Agora, temos que a base da potência tende a 1 conforme vai para o infinito. Mas como essa base se comporta exatamente? Vamos reescrever a sequência para facilitar o cálculo do limite:

Passo 5

Conhecemos que tende a quando tende ao infinito. No nosso caso, temos , então podemos reescrever:
À medida que cresce, tende a , e tende a 1.

Passo 6

Portanto, o limite de conforme vai para o infinito é:

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é .

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