Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se a sequência
é divergente ou convergente. Se for convergente, a gente também precisa encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de limites de sequências e entender como calcular o limite de expressões que envolvem potências e frações.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da potência:
. Quando
cresce, tanto o numerador quanto o denominador aumentam, mas queremos ver qual é o comportamento dessa fração conforme
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador por
:
À medida que
se aproxima do infinito,
e
tendem a zero. Então, a fração se aproxima de:
Passo 4
Agora, temos que a base da potência
tende a 1 conforme
vai para o infinito. Mas como essa base se comporta exatamente? Vamos reescrever a sequência para facilitar o cálculo do limite:
Passo 5
Conhecemos que
tende a
quando
tende ao infinito. No nosso caso, temos
, então podemos reescrever:
À medida que
cresce,
tende a
, e
tende a 1.
Passo 6
Portanto, o limite de
conforme
vai para o infinito é:
Resposta
A sequência é convergente e seu limite é
.
Exercícios relacionados
Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência, analise a sua convergência e encontre o limite caso exista:
.
Os dois primeiros termos de algumas progressões aritméticas são dados abaixo. Escreva o termo geral e determine o termo indicado.
?;
Qual é o
termo nesta sequência:
?
Escreva os cinco primeiros termos de cada sequência (supondo que começa em
).
;