Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também lim n infty un, caso exista.
(f) un=ln nn

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar os quatro primeiros termos da sequência definida por e calcular o limite dessa sequência quando tende ao infinito. Vamos precisar usar conceitos de funções logarítmicas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o primeiro termo da sequência, que acontece quando u1 = ln 11 :
u1 = 01 = 0
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o segundo termo, com u2 = ln 22 :
u2 approx 0,6932 approx 0,3465
Aproximando (que é aproximadamente 0,693):

Passo 4

Vamos para o terceiro termo, quando u3 = ln 33 :
u3 approx 1,09863 approx 0,3662
Aproximando (que é aproximadamente 1,0986):

Passo 5

Por fim, o quarto termo, com u4 = ln 44 :
u4 approx 1,38634 approx 0,3466
Sabendo que :

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite da sequência quando limn to infty ln nn tende ao infinito:
limn to infty ln nn = limn to infty ddn (ln n)ddn (n) = limn to infty 1n1 = limn to infty 1n = 0
Para resolver esse limite, observamos que cresce mais devagar do que . Podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que é usada quando temos um limite do tipo :
Então, o limite é 0.

Resposta

Os quatro primeiros termos da sequência são aproximadamente , , e . Além disso, o limite da sequência quando tende ao infinito é .

Exercícios relacionados

Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também lim n infty un, caso exista.
© un=(-1)^n raiznn+1
Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também lim n infty un, caso exista.
(a) un=n4 n+2
Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também lim n infty un, caso exista.
(i) un=cos n pi2
Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também lim n infty un, caso exista.
(j) un=arctan n