Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também lim n infty un, caso exista.
(j) un=arctan n

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar os quatro primeiros termos da sequência definida por e também calcular o limite quando tende ao infinito. A matéria envolvida aqui é a análise de sequências, especificamente trabalhando com a função arco-tangente. Para isso, vamos precisar saber calcular o valor da para diferentes valores de e entender como essa função se comporta quando cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os quatro primeiros termos da sequência. Isso significa substituir por 1, 2, 3 e 4 na fórmula .
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 3

Agora, vamos calcular cada um desses valores. Lembrando que é a função inversa da tangente, e seus valores geralmente são expressos em radianos.
  • radianos (já que )
  • radianos
  • radianos
  • radianos
Esses são os quatro primeiros termos da sequência.

Passo 4

Agora vamos calcular o limite da sequência quando tende ao infinito, ou seja, . Para isso, precisamos entender o comportamento da função conforme aumenta sem limite.
Sabemos que a função arco-tangente assenta em valores entre e . Conforme cresce, se aproxima de , mas nunca o ultrapassa.

Passo 5

Portanto, o limite é:
limn infty arctan n = pi2

Resposta

Os quatro primeiros termos da sequência são , , e . O limite da sequência quando tende ao infinito é .

Exercícios relacionados

Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também lim n infty un, caso exista.
(i) un=cos n pi2
Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também lim n infty un, caso exista.
(f) un=ln nn
log_m(x^4 + m^4) ≥ 2 + log_m((x/(2*m))^2 + m^2)
Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também lim n infty un, caso exista.
(n) un=1+(-1)^n