Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também
, caso exista.
(j)
(j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar os quatro primeiros termos da sequência definida por
e também calcular o limite quando
tende ao infinito. A matéria envolvida aqui é a análise de sequências, especificamente trabalhando com a função arco-tangente. Para isso, vamos precisar saber calcular o valor da
para diferentes valores de
e entender como essa função se comporta quando
cresce muito.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os quatro primeiros termos da sequência. Isso significa substituir
por 1, 2, 3 e 4 na fórmula
.
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada um desses valores. Lembrando que
é a função inversa da tangente, e seus valores geralmente são expressos em radianos.
-
radianos (já que ) -
radianos -
radianos -
radianos
Esses são os quatro primeiros termos da sequência.
Passo 4
Agora vamos calcular o limite da sequência quando
tende ao infinito, ou seja,
. Para isso, precisamos entender o comportamento da função
conforme
aumenta sem limite.
Sabemos que a função arco-tangente assenta em valores entre
e
. Conforme
cresce,
se aproxima de
, mas nunca o ultrapassa.
Passo 5
Portanto, o limite é:
Resposta
Os quatro primeiros termos da sequência são
,
,
e
. O limite da sequência quando
tende ao infinito é
.
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(i)
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(n)
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