Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também lim n infty un, caso exista.
(i) un=cos n pi2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar os quatro primeiros termos da sequência e calcular o limite quando tende ao infinito, se existir. Aqui, estamos trabalhando com função trigonométrica, especificamente o cosseno, e vamos precisar saber como calcular valores de cosseno para diferentes ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os quatro primeiros termos da sequência. Para isso, substituímos u1 = cos ( 1 cdot pi2 ) = cos ( pi2 ) = 0 por 1, 2, 3 e 4 na expressão u2 = cos ( 2 cdot pi2 ) = cos (pi) = -1 .
  • Para u3 = cos ( 3 cdot pi2 ) = cos ( 3pi2 ) = 0 :
    u4 = cos ( 4 cdot pi2 ) = cos (2pi) = 1
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da sequência quando limn to infty un = limn to infty cos ( npi2 ) tende ao infinito:
Sabemos que oscila entre -1 e 1 para qualquer ângulo . No caso dessa sequência:
  • Quando é ímpar, .
  • Quando é par, alterna entre -1 e 1.
Como a sequência não se aproxima de um único valor e continua alternando, o limite não existe.

Resposta

Os quatro primeiros termos da sequência são , , e . O limite quando tende ao infinito não existe.

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(f) un=ln nn
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© un=(-1)^n raiznn+1
Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também lim n infty un, caso exista.
(j) un=arctan n
log_m(x^4 + m^4) ≥ 2 + log_m((x/(2*m))^2 + m^2)