Passo 1
Vamos resolver a seguinte desigualdade:
Neste exercício, trabalharemos com funções logarítmicas e desigualdades. Para resolver, precisaremos entender as propriedades dos logaritmos e como manipular desigualdades envolvendo logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que podemos simplificar a expressão à direita da desigualdade. Sabemos que
pode ser escrito como
, já que
é o resultado de elevar a base
ao quadrado:
Então, a desigualdade fica:
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que a soma de logaritmos é igual ao logaritmo do produto, ou seja:
Aplicamos isso na parte direita da desigualdade:
Passo 4
Agora que temos logaritmos com a mesma base em ambos os lados da desigualdade, podemos eliminar os logaritmos se compararmos os argumentos diretamente, desde que a função logarítmica seja crescente. Isso depende do valor da base
:
- Se
, a função logarítmica é crescente. - Se
, a função logarítmica é decrescente, e a desigualdade se inverte.
Vamos considerar que
para seguir com a resolução.
Portanto, podemos escrever:
Passo 5
Agora, vamos expandir e simplificar a expressão:
Primeiro, simplificamos o termo dentro do parêntese:
Então, a desigualdade fica:
Multiplicamos
dentro do parêntese:
Simplificando:
Passo 6
Subtraímos
de ambos os lados:
Multiplicamos ambos os lados por 4 para eliminar a fração:
Passo 7
Vamos rearranjar a desigualdade para trazer todos os termos para um lado:
Fatoramos o termo comum
:
Passo 8
Agora, encontramos os valores de
para os quais a expressão é maior ou igual a zero. Considerando
para todo
, e analisando o termo
:
Passo 9
Assim, as soluções para a desigualdade são todos os
tais que:
Resposta
A solução da desigualdade é
ou
.
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, caso exista.
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