log_m(x^4 + m^4) ≥ 2 + log_m((x/(2*m))^2 + m^2)

Passo 1

Vamos resolver a seguinte desigualdade:
log_m(x^4 + m^4) ≥ 2 + log_m((x/(2*m))^2 + m^2)
Neste exercício, trabalharemos com funções logarítmicas e desigualdades. Para resolver, precisaremos entender as propriedades dos logaritmos e como manipular desigualdades envolvendo logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que podemos simplificar a expressão à direita da desigualdade. Sabemos que pode ser escrito como , já que é o resultado de elevar a base ao quadrado:
Então, a desigualdade fica:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz que a soma de logaritmos é igual ao logaritmo do produto, ou seja:
Aplicamos isso na parte direita da desigualdade:

Passo 4

Agora que temos logaritmos com a mesma base em ambos os lados da desigualdade, podemos eliminar os logaritmos se compararmos os argumentos diretamente, desde que a função logarítmica seja crescente. Isso depende do valor da base :
  • Se , a função logarítmica é crescente.
  • Se , a função logarítmica é decrescente, e a desigualdade se inverte.
Vamos considerar que para seguir com a resolução.
Portanto, podemos escrever:

Passo 5

Agora, vamos expandir e simplificar a expressão:
Primeiro, simplificamos o termo dentro do parêntese:
Então, a desigualdade fica:
Multiplicamos dentro do parêntese:
Simplificando:

Passo 6

Subtraímos de ambos os lados:
Multiplicamos ambos os lados por 4 para eliminar a fração:

Passo 7

Vamos rearranjar a desigualdade para trazer todos os termos para um lado:
Fatoramos o termo comum :

Passo 8

Agora, encontramos os valores de para os quais a expressão é maior ou igual a zero. Considerando para todo , e analisando o termo :

Passo 9

Assim, as soluções para a desigualdade são todos os tais que:

Resposta

A solução da desigualdade é ou .

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