Determine o quociente da divisão dos complexos 8+i por 2-i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o quociente da divisão dos números complexos por . Para isso, vamos usar a matéria de números complexos, especificamente a divisão deles. Vamos precisar multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador para simplificar.

Passo 2

Primeiro, vou explicar rapidinho o que é o conjugado de um número complexo. Se temos um número complexo na forma , o conjugado dele é . Multiplicar um número pelo seu conjugado ajuda a eliminar a parte imaginária no denominador quando fazemos uma divisão.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar tanto o numerador quanto o denominador pelo conjugado do denominador, que no caso é 8 + i2 - i times 2 + i2 + i . Isso fica assim:

Passo 4

Vamos calcular o numerador primeiro:
(8 + i)(2 + i) = 8 times 2 + 8 times i + i times 2 + i times i = 16 + 8i + 2i + i^2
Lembrando que 16 + 8i + 2i - 1 = 15 + 10i , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular o denominador:
(2 - i)(2 + i) = 2 times 2 + 2 times i - i times 2 - i times i = 4 + 2i - 2i - i^2
Como 4 - (-1) = 4 + 1 = 5 :

Resposta

O quociente da divisão dos complexos por é .

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