Determine o quociente e o resto na divisão de f(x) por g(x). f(x) = x^5 + 5x^4 - x^3 - 8x e g(x) = x - 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o quociente e o resto quando dividimos o polinômio pelo polinômio . Isso faz parte do conteúdo de divisão de polinômios, e vamos usar o método da divisão polinomial para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando dividimos um polinômio por outro polinômio , a gente procura escrever na forma:
Onde:
  • é o quociente,
  • é o resto.
No nosso caso, é de grau 1, então o resto vai ser um polinômio de grau menor que 1, ou seja, uma constante.

Passo 3

Vamos usar a divisão polinomial longa. Começamos dividindo o termo de maior grau de pelo termo de maior grau de :
Então, o primeiro termo do quociente é .

Passo 4

Multiplicamos pelo divisor :
Agora, subtraímos esse resultado do :

Passo 5

Repitamos o processo com o novo polinômio :
Adicionamos ao quociente:
Multiplicamos por :
Subtraímos do polinômio anterior:

Passo 6

Continuamos com :
Atualizamos o quociente:
Multiplicamos por :
Subtraímos:

Passo 7

Agora, com :
Adicionamos ao quociente:
Multiplicamos por :
Subtraímos:

Passo 8

Finalmente, com :
Adicionamos ao quociente:
Multiplicamos por :
Subtraímos:
Como chegamos a um termo constante que não pode ser dividido mais, esse é o resto.

Resposta

O quociente da divisão é e o resto é .

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