Esboce o gráfico das seguintes funções. f(x) = { x² - 4x + 3, se x ≥ 0; x² + 4x + 3, se x < 0 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função , que é uma função por partes. Isso significa que a função tem regras diferentes dependendo do valor de . Para isso, vamos usar conhecimentos de funções quadráticas e entender como elas se comportam em diferentes intervalos de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função:
Então, temos:
  1. Para :
  2. Para :

Passo 3

Vamos começar esboçando o gráfico da primeira parte: para .
Primeiro, identificamos que essa é uma função quadrática da forma , onde , , e .
Para entender o gráfico dessa função, vamos encontrar alguns pontos importantes:
  • Vértice: O vértice de uma parábola está em .
    Calculando:
    Substituindo na função para achar :
    Então, o vértice é .
  • Raízes: São os valores de que fazem .
    Resolvendo :
    Então, e .

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: para .
Também é uma função quadrática com , , e .
Vamos encontrar os pontos chave:
  • Vértice:
    Substituindo na função:
    Vértice em .
  • Raízes:
    Resolvendo :
    Então, e .

Passo 5

Agora que temos os pontos chave de cada parte da função, vamos juntar tudo para esboçar o gráfico completo.
  • Para :
    • Vértice em
    • Raízes em e
  • Para :
    • Vértice em
    • Raízes em e
Vamos lembrar que para cada intervalo de , apenas uma das partes da função está ativa.

Passo 6

Vamos agora plotar os pontos no gráfico e desenhar as parábolas correspondentes:
  1. Para :
    • A parábola está voltada para cima (porque )
    • Passa por , , e
  2. Para :
    • Também está voltada para cima
    • Passa por , , e
Importante: O ponto onde está incluído na primeira parte da função. Vamos calcular :
Então, o ponto pertence à primeira parábola.

Resposta

Com todas essas informações, o esboço do gráfico da função consiste em duas parábolas distintas:
  • Para : Uma parábola que abre para cima, com vértice em , cruzando o eixo nos pontos e , e passando pelo ponto .
  • Para : Outra parábola que também abre para cima, com vértice em , cruzando o eixo nos pontos e .
O gráfico será composto por essas duas partes, unidas no ponto .

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