Esboce o gráfico das seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
, que é uma função por partes. Isso significa que a função tem regras diferentes dependendo do valor de
. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções quadráticas e entender como elas se comportam em diferentes intervalos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes da função:
Então, temos:
- Para
: - Para
:
Passo 3
Vamos começar esboçando o gráfico da primeira parte:
para
.
Primeiro, identificamos que essa é uma função quadrática da forma
, onde
,
, e
.
Para entender o gráfico dessa função, vamos encontrar alguns pontos importantes:
-
Vértice: O vértice de uma parábola
está em . Calculando:Substituindo na função para achar: Então, o vértice é. -
Raízes: São os valores de
que fazem . Resolvendo: Então,e .
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte:
para
.
Também é uma função quadrática com
,
, e
.
Vamos encontrar os pontos chave:
-
Vértice:Substituindo na função:Vértice em
. -
Raízes:Resolvendo
: Então,e .
Passo 5
Agora que temos os pontos chave de cada parte da função, vamos juntar tudo para esboçar o gráfico completo.
-
Para
: - Vértice em
- Raízes em
e
- Vértice em
-
Para
: - Vértice em
- Raízes em
e
- Vértice em
Vamos lembrar que para cada intervalo de
, apenas uma das partes da função está ativa.
Passo 6
Vamos agora plotar os pontos no gráfico e desenhar as parábolas correspondentes:
-
Para
: - A parábola está voltada para cima (porque
) - Passa por
, , e
- A parábola está voltada para cima (porque
-
Para
: - Também está voltada para cima
- Passa por
, , e
Importante: O ponto onde
está incluído na primeira parte da função. Vamos calcular
:
Então, o ponto
pertence à primeira parábola.
Resposta
Com todas essas informações, o esboço do gráfico da função
consiste em duas parábolas distintas:
-
Para
: Uma parábola que abre para cima, com vértice em , cruzando o eixo nos pontos e , e passando pelo ponto . -
Para
: Outra parábola que também abre para cima, com vértice em , cruzando o eixo nos pontos e .
O gráfico será composto por essas duas partes, unidas no ponto
.
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, o domínio das seguintes funções.