Determine r em R para que y(t) = e^(r t) seja solução de y''' + 3y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e queremos descobrir os valores de que fazem essa função ser solução da equação diferencial . Isso cai no conteúdo de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar derivar a função e substituir na equação para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas de . A primeira derivada é:
A segunda derivada é:
E a terceira derivada é:
Isso porque cada vez que derivamos , multiplicamos pelo expoente .

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação diferencial :
Perceba que é comum nos dois termos, então podemos fatorar:

Passo 4

Como nunca é zero para nenhum valor real de , a única maneira da equação ser igual a zero é se o que está dentro do parêntese for zero:
Então, vamos resolver para :

Resposta

O valor de que faz ser solução da equação é:

Exercícios relacionados