Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar, se existirem, pontos de acumulação, pontos de máximo, pontos de mínimo, supremo e ínfimo do conjunto . Vamos usar conceitos de análise de sequências e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o conjunto . Ele é formado por termos da sequência , onde é um número natural (1, 2, 3, …). Isso significa que cada termo da sequência alterna o sinal devido ao e o valor de depende de .

Passo 3

Vamos analisar o comportamento da sequência quando aumenta. Observamos que:
Então, o módulo de tende a 1 conforme cresce.

Passo 4

Como , os termos vão alternar entre positivo e negativo. Ou seja, para par, é positivo, e para ímpar, é negativo.

Passo 5

Vamos identificar os termos para alguns valores de :
  • :
  • :
  • :
  • :
  • E assim por diante.
Vemos que os termos positivos estão aumentando e aproximando-se de 1, e os termos negativos estão diminuindo (em valor absoluto, aumentando em magnitude negativa) e aproximando-se de -1.

Passo 6

Ponto de Acumulação: Um ponto de acumulação é um valor que a sequência se aproxima à medida que cresce. Aqui, a sequência alterna entre se aproximar de 1 e -1. Então, os pontos de acumulação são 1 e -1.
Ponto de Máximo: O desempenho da sequência para mostra que os termos positivos estão aumentando e se aproximando de 1, mas nunca ultrapassam 1. Portanto, 1 é o limite superior, mas não há um termo na sequência que seja exatamente 1. Assim, não existe um ponto de máximo no conjunto .
Ponto de Mínimo: Similarmente, os termos negativos estão se aproximando de -1, mas nunca chegam a -1. Portanto, não há um termo na sequência que seja exatamente -1. Assim, não existe um ponto de mínimo no conjunto .
Supremo e Ínfimo:
  • Supremo: É o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Como os termos positivos se aproximam de 1, mas nunca o alcançam, o supremo de é 1.
  • Ínfimo: É o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto. Como os termos negativos se aproximam de -1, mas nunca o alcançam, o ínfimo de é -1.

Resposta

  • Pontos de acumulação: 1 e -1.
  • Ponto de máximo: Não existe.
  • Ponto de mínimo: Não existe.
  • Supremo: 1.
  • Ínfimo: -1.

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g)
Encontre uma solução geral para a EDO. ;
Resp.
Determine para que seja solução de