Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar, se existirem, pontos de acumulação, pontos de máximo, pontos de mínimo, supremo e ínfimo do conjunto
. Vamos usar conceitos de análise de sequências e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o conjunto
. Ele é formado por termos da sequência
, onde
é um número natural (1, 2, 3, …). Isso significa que cada termo da sequência alterna o sinal devido ao
e o valor de
depende de
.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento da sequência quando
aumenta. Observamos que:
Então, o módulo de
tende a 1 conforme
cresce.
Passo 4
Como
, os termos vão alternar entre positivo e negativo. Ou seja, para
par,
é positivo, e para
ímpar,
é negativo.
Passo 5
Vamos identificar os termos para alguns valores de
:
-
: -
: -
: -
: - E assim por diante.
Vemos que os termos positivos estão aumentando e aproximando-se de 1, e os termos negativos estão diminuindo (em valor absoluto, aumentando em magnitude negativa) e aproximando-se de -1.
Passo 6
Ponto de Acumulação: Um ponto de acumulação é um valor que a sequência se aproxima à medida que
cresce. Aqui, a sequência alterna entre se aproximar de 1 e -1. Então, os pontos de acumulação são 1 e -1.
Ponto de Máximo: O desempenho da sequência para
mostra que os termos positivos estão aumentando e se aproximando de 1, mas nunca ultrapassam 1. Portanto, 1 é o limite superior, mas não há um termo na sequência que seja exatamente 1. Assim, não existe um ponto de máximo no conjunto
.
Ponto de Mínimo: Similarmente, os termos negativos estão se aproximando de -1, mas nunca chegam a -1. Portanto, não há um termo na sequência que seja exatamente -1. Assim, não existe um ponto de mínimo no conjunto
.
Supremo e Ínfimo:
- Supremo: É o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Como os termos positivos se aproximam de 1, mas nunca o alcançam, o supremo de
é 1. - Ínfimo: É o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto. Como os termos negativos se aproximam de -1, mas nunca o alcançam, o ínfimo de
é -1.
Resposta
- Pontos de acumulação: 1 e -1.
- Ponto de máximo: Não existe.
- Ponto de mínimo: Não existe.
- Supremo: 1.
- Ínfimo: -1.
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g)
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;
Resp.
Resp.
Determine
para que
seja solução de