Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
j)
j)
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos o conjunto
. Nosso objetivo é encontrar:
- Pontos de acumulação
- Ponto de máximo
- Ponto de mínimo
- Supremo
- Ínfimo
Para resolver isso, vamos precisar entender o comportamento da sequência
quando
tende ao infinito, além de conceitos de limite, supremum e ínfimo em conjuntos numéricos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da sequência
. Observamos que conforme
aumenta,
se aproxima de 1. Para entender isso melhor, podemos dividir o numerador e o denominador por
:
À medida que
cresce,
tende a zero, então
tende a
. Portanto, o limite da sequência
é 1.
Passo 3
Agora, vamos identificar os pontos de máximo e mínimo. Observamos que:
- Quando
, . - Conforme
aumenta, aumenta, aproximando-se de 1.
Isso indica que o menor valor da sequência é
e não há um maior valor finito encontrado na sequência, pois ela se aproxima de 1 sem nunca alcançá-lo exatamente.
Passo 4
Em relação aos pontos de acumulação, um ponto de acumulação é um número para o qual uma sequência tem infinitos termos arbitrariamente próximos. Já vimos que
tende a 1, então 1 é um ponto de acumulação do conjunto
.
Passo 5
Vamos agora determinar o supremo e o ínfimo do conjunto
:
-
Ínfimo: O menor número que não é menor que nenhum elemento de
. Como o menor valor da sequência é , o ínfimo de é . -
Supremo: O menor número que é maior ou igual a todos os elementos de
. A sequência se aproxima de 1, mas nunca o alcança, portanto o supremo é 1.
Resposta
- Ponto de acumulação: 1
- Ponto de máximo: Não existe
- Ponto de mínimo:
- Supremo: 1
- Ínfimo: