Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
j) J = { x em R | x = n / (n + 1), n em N }

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos o conjunto . Nosso objetivo é encontrar:
  • Pontos de acumulação
  • Ponto de máximo
  • Ponto de mínimo
  • Supremo
  • Ínfimo
Para resolver isso, vamos precisar entender o comportamento da sequência quando tende ao infinito, além de conceitos de limite, supremum e ínfimo em conjuntos numéricos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da sequência . Observamos que conforme aumenta, se aproxima de 1. Para entender isso melhor, podemos dividir o numerador e o denominador por :
À medida que cresce, tende a zero, então tende a . Portanto, o limite da sequência é 1.

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos de máximo e mínimo. Observamos que:
  • Quando , .
  • Conforme aumenta, aumenta, aproximando-se de 1.
Isso indica que o menor valor da sequência é e não há um maior valor finito encontrado na sequência, pois ela se aproxima de 1 sem nunca alcançá-lo exatamente.

Passo 4

Em relação aos pontos de acumulação, um ponto de acumulação é um número para o qual uma sequência tem infinitos termos arbitrariamente próximos. Já vimos que tende a 1, então 1 é um ponto de acumulação do conjunto .

Passo 5

Vamos agora determinar o supremo e o ínfimo do conjunto :
  • Ínfimo: O menor número que não é menor que nenhum elemento de . Como o menor valor da sequência é , o ínfimo de é .
  • Supremo: O menor número que é maior ou igual a todos os elementos de . A sequência se aproxima de 1, mas nunca o alcança, portanto o supremo é 1.

Resposta

  • Ponto de acumulação: 1
  • Ponto de máximo: Não existe
  • Ponto de mínimo:
  • Supremo: 1
  • Ínfimo:

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