Encontre uma solução geral para a EDO. x y' = e^(-x y) - y;
Resp. y = ln(x + c) / x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é x y' = e^(-x y) - y. O conteúdo aqui envolve EDOs, e vamos precisar manipular a equação para encontrar uma solução geral para .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar isolado. Dividimos ambos os lados por :

Passo 3

Agora, vamos tentar simplificar a equação. Observamos que há um termo , o que sugere que uma substituição pode ajudar. Vamos definir:

Passo 4

Com , precisamos encontrar em termos de e . Diferenciando em relação a :
Isso nos dá:

Passo 5

Substituímos na equação original:
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:

Passo 6

Agora, temos uma EDO mais simples:
Isso é uma equação separável. Podemos separar as variáveis e :

Passo 7

Integramos ambos os lados:
O que resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:
Agora, vamos resolver para :

Resposta

A solução geral da EDO é:

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