Determine r, sabendo que r é uma reta que passa por (1, -1) e é tangente à f(x) = x^3 - x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a reta que passa pelo ponto e é tangente à função . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas e tangentes, que são conceitos de cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta tangente. Uma reta tangente a uma curva em um ponto toca a curva exatamente nesse ponto e tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Isso significa que a derivada da função no ponto de tangência nos dá a inclinação da reta tangente.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de . A derivada de uma função nos dá a taxa de variação da função em relação a .

Passo 4

A equação geral da reta tangente em um ponto é dada por:
Isso significa que precisamos encontrar o valor de onde a reta passa pelo ponto e é tangente à curva.

Passo 5

Sabemos que a reta tangente passa por . Então, substituímos e na equação da reta tangente:
Substituindo e :

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de :
Primeiro, distribuímos o :
Simplificando os termos:
Agora, adicionamos 1 aos dois lados:
Fatorando:
Isso nos dá duas soluções possíveis:

Resposta

As retas tangentes que passam por são:
  1. Para :
Portanto, .
  1. Para :
Então,
Portanto, .

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