Seja P um polinômio de grau n. Verifique que uma raiz de P é dupla quando ela for raiz do polinômio e da sua derivada primeira, mas não for raiz da derivada segunda.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um polinômio de grau e queremos verificar quando uma raiz é dupla. O conteúdo aqui envolve polinômios e derivadas. Para resolver, vamos precisar das definições de raiz dupla e de como as derivadas do polinômio se relacionam com as multiplicidades das raízes.

Passo 2

Primeiro, uma raiz de um polinômio é um número tal que . Se essa raiz for dupla, significa que aparece duas vezes como raiz. Em termos matemáticos, podemos escrever , onde é outro polinômio.

Passo 3

Agora, vamos derivar . Usando a regra do produto:
Podemos ver que também é raiz de porque, substituindo :
Então, é raiz de e de sua primeira derivada .

Passo 4

Para confirmar que é uma raiz dupla, precisamos verificar que não é raiz da segunda derivada . Vamos calcular :
Substituindo :
Isso mostra que não é raiz de , confirmando que a multiplicidade é exatamente 2.

Resposta

Uma raiz de é dupla se e somente se , e .

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