Seja
um polinômio de grau
. Verifique que uma raiz de
é dupla quando ela for raiz do polinômio e da sua derivada primeira, mas não for raiz da derivada segunda.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um polinômio
de grau
e queremos verificar quando uma raiz
é dupla. O conteúdo aqui envolve polinômios e derivadas. Para resolver, vamos precisar das definições de raiz dupla e de como as derivadas do polinômio se relacionam com as multiplicidades das raízes.
Passo 2
Primeiro, uma raiz de um polinômio
é um número
tal que
. Se essa raiz for dupla, significa que
aparece duas vezes como raiz. Em termos matemáticos, podemos escrever
, onde
é outro polinômio.
Passo 3
Agora, vamos derivar
. Usando a regra do produto:
Podemos ver que
também é raiz de
porque, substituindo
:
Então,
é raiz de
e de sua primeira derivada
.
Passo 4
Para confirmar que
é uma raiz dupla, precisamos verificar que
não é raiz da segunda derivada
. Vamos calcular
:
Substituindo
:
Isso mostra que
não é raiz de
, confirmando que a multiplicidade é exatamente 2.
Resposta
Uma raiz
de
é dupla se e somente se
,
e
.
Exercícios relacionados
Determine
, sabendo que
é uma reta que passa por
e é tangente à
.
Se uma lata fechada com volume
deve ter a forma de um cilindro circular reto, ache a altura
e o raio
, se um mínimo de material deve ser usado em sua fabricação.
Encontre
, sendo
e
.
Sejam
e
funções deriváveis em
e tais que
. Sabendo-se que
e
, calcule o valor de
.