Determine se
é contínua em
. Explique seu raciocínio. (a)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos determinar se a função vetorial
é contínua em
. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções e analisar cada componente dessa função vetorial individualmente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em
se o limite da função quando
se aproxima de
for igual ao valor da função em
. Ou seja:
Aplicando isso à nossa função vetorial, precisamos verificar a continuidade de cada uma das componentes em
.
Passo 3
Vamos analisar a primeira componente da função:
. Sabemos que a função exponencial
é contínua em todos os pontos do seu domínio, incluindo
. Portanto:
Isso confirma que a primeira componente é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda componente:
, que é equivalente a
. Vamos verificar o limite quando
se aproxima de 0.
Sabemos que
tende a 0 quando
se aproxima de 0, então:
No entanto,
, o que faz com que
se torne indefinida em
. Além disso, à medida que
se aproxima de 0,
tende a infinito, o que indica que a função não é limitada nesse ponto.
Passo 5
Como uma das componentes da função vetorial
não é contínua em
, concluímos que a função vetorial inteira também não é contínua nesse ponto. A continuidade de todas as componentes é necessária para que a função vetorial seja contínua.
Resposta
A função vetorial
não é contínua em
porque a componente
não está definida nesse ponto, tornando a função descontinuada.
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no ponto em que
.