Determine se é contínua em . Explique seu raciocínio. (a)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos determinar se a função vetorial é contínua em . Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções e analisar cada componente dessa função vetorial individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se o limite da função quando se aproxima de for igual ao valor da função em . Ou seja:
Aplicando isso à nossa função vetorial, precisamos verificar a continuidade de cada uma das componentes em .

Passo 3

Vamos analisar a primeira componente da função: . Sabemos que a função exponencial é contínua em todos os pontos do seu domínio, incluindo . Portanto:
Isso confirma que a primeira componente é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente: , que é equivalente a . Vamos verificar o limite quando se aproxima de 0.
Sabemos que tende a 0 quando se aproxima de 0, então:
No entanto, , o que faz com que se torne indefinida em . Além disso, à medida que se aproxima de 0, tende a infinito, o que indica que a função não é limitada nesse ponto.

Passo 5

Como uma das componentes da função vetorial não é contínua em , concluímos que a função vetorial inteira também não é contínua nesse ponto. A continuidade de todas as componentes é necessária para que a função vetorial seja contínua.

Resposta

A função vetorial não é contínua em porque a componente não está definida nesse ponto, tornando a função descontinuada.

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